Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int \frac{x \operatorname{arcsen} x}{\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3}}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes e, na parte de integrar dv, recorrer a uma substituição simples para obter v.

Passo 2

Escolhemos
u = \arcsin x, \quad dv = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx.
Para encontrar v, fazemos a substituição
t = 1 - x^2, \quad dt = -2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\tfrac12\,dt.
Logo,
v = \int \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}\,dx = \int \frac{-\tfrac12\,dt}{t^{3/2}} = -\tfrac12\int t^{-3/2}\,dt = t^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Passo 3

Agora, como
du = \frac{d}{dx}(\arcsin x)\,dx = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,
a fórmula de partes dá
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\;\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} - \int \frac{1}{1-x^2}\,dx.

Passo 4

Falta agora integrar
\int \frac{1}{1-x^2}\,dx.
Sabemos que
\int \frac{1}{1-x^2}\,dx = \operatorname{arctanh} x = \tfrac12 \ln\!\biggl(\frac{1+x}{1-x}\biggr).

Resposta

\int \frac{x\,\arcsin x}{\sqrt{\bigl(1-x^{2}\bigr)^{3}}}\,dx = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} - \operatorname{arctanh} x + C.

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