Calcule as seguintes integrais. Sugestão. Imite os procedimentos usados no exemplo 16.5.
\int \frac{\operatorname{arcsen} x}{x^{2}} d x. Sugestão. Faça \int \frac{1}{x \sqrt{1-x^{2}}} d x=\int \frac{x}{x^{2} \sqrt{1-x^{2}}} d x, quando necessário, e então z=\sqrt{1-x^{2}}.

Passo 1

Estamos interessados na integral
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que nos diz que para funções u e v suaves
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \arcsin(x), \quad dv = \frac{1}{x^{2}}\,dx.
Então
du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx, \quad v = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando integração por partes:
\int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{\arcsin(x)}{x} - \int \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\,\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} + \int \frac{1}{x\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.
Denotemos
J = \int \frac{1}{x\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.

Passo 4

Para calcular
J = \int \frac{1}{x\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx
seguimos a sugestão: multiplicamos numerador e denominador por x, obtendo
J = \int \frac{x}{x^{2}\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição
z = \sqrt{1 - x^{2}},
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dz = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = -\,z\,dz.
Além disso x^{2} = 1 - z^{2}.

Passo 6

Reescrevendo J em termos de z:
J = \int \frac{x\,dx}{x^{2}\,z} = \int \frac{-\,z\,dz}{(1 - z^{2})\,z} = -\int \frac{dz}{1 - z^{2}}.
Sabemos que
\int \frac{dz}{1 - z^{2}} = \operatorname{arctanh}(z) = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\tfrac{1+z}{1-z}\bigr).
Portanto
J = -\frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1 + z}{1 - z}\biggr) + C = -\frac{1}{2}\ln\!\biggl(\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\biggr) + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{\arcsin(x)}{x^{2}}\,dx = -\frac{\arcsin(x)}{x} -\frac{1}{2}\ln\!\Bigl(\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{1 - \sqrt{1 - x^{2}}}\Bigr) + C. }

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