Calcular a integral:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas:
- O integrando depende apenas de
. - As desigualdades dos limites descrevem a região
isto é, a porção da bola de raio com as coordenadas e não-negativas (um quarto da bola). - O objetivo é avaliar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Como o integrando depende somente de
, faz muito sentido usar coordenadas esféricas. Vamos definir as coordenadas esféricas padrão:
onde
é a distância à origem,
é o ângulo polar (medido a partir do eixo
) e
é o ângulo azimutal no plano
.
A razão para usar essas coordenadas é que
, então o integrando fica em função só de
. Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é
Breve explicação do fator
: a pequena fatia de volume formada por intervalos
,
,
tem dimensões aproximadas
,
e
, logo o volume aproximado é o produto
.
Passo 3
Agora traduzimos a região de integração para coordenadas esféricas.
- A condição
vira . - A condição
é . Para isso exige , ou seja - A condição
é . Para e (já garantido por , e aqui tem ) isso exige , portanto
Assim a região corresponde a
confirmando que é um quarto da bola unitária (metade em
e metade em
).
Passo 4
Escrevendo a integral em coordenadas esféricas: como
, o integrando se torna
. Portanto a integral é
Passo 5
As integrais nas variáveis angulares e radial separam-se (produto de integrais), porque o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes:
Calculemos as integrais angulares:
Passo 6
Fica então restante a integral radial
Fazemos a substituição direta
. A derivada é
, logo
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Passo 7
Multiplicando as contribuições angulares e a radial obtemos o valor final da integral: