Calcular a integral: \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d z d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} e^{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\,dz\,dy\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • As desigualdades dos limites descrevem a região \{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1,\; y\ge 0,\; z\ge 0\},isto é, a porção da bola de raio 1 com as coordenadas y e z não-negativas (um quarto da bola).
  • O objetivo é avaliar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Como o integrando depende somente de x^{2}+y^{2}+z^{2}, faz muito sentido usar coordenadas esféricas. Vamos definir as coordenadas esféricas padrão:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
onde r\ge 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.
A razão para usar essas coordenadas é que x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, então o integrando fica em função só de r. Além disso, o elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Breve explicação do fator r^{2}\sin\varphi: a pequena fatia de volume formada por intervalos dr, d\varphi, d\theta tem dimensões aproximadas dr, r\,d\varphi e r\sin\varphi\,d\theta, logo o volume aproximado é o produto dr\cdot r\,d\varphi\cdot r\sin\varphi\,d\theta = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Agora traduzimos a região de integração para coordenadas esféricas.
  • A condição x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 1 vira 0\le r\le 1.
  • A condição z\ge 0 é r\cos\varphi\ge 0. Para r\ge 0 isso exige \cos\varphi\ge 0, ou seja \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right].
  • A condição y\ge 0 é r\sin\varphi\sin\theta\ge 0. Para r\ge 0 e \sin\varphi\ge 0 (já garantido por \varphi\in[0,\pi], e aqui \varphi\in[0,\pi/2] tem \sin\varphi\ge 0) isso exige \sin\theta\ge 0, portanto \theta\in[0,\pi].
Assim a região corresponde a
0\le r\le 1,\qquad 0\le \varphi\le \frac{\pi}{2},\qquad 0\le \theta\le \pi,
confirmando que é um quarto da bola unitária (metade em \theta e metade em \varphi).

Passo 4

Escrevendo a integral em coordenadas esféricas: como x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}, o integrando se torna e^{(r^{2})^{3/2}}=e^{r^{3}}. Portanto a integral é
\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} e^{r^{3}}\, r^{2}\sin\varphi\, dr\, d\varphi\, d\theta.

Passo 5

As integrais nas variáveis angulares e radial separam-se (produto de integrais), porque o integrando é produto de funções que dependem de variáveis diferentes:
\left(\int_{0}^{\pi} d\theta\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi\right)\left(\int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{3}}\, dr\right).
Calculemos as integrais angulares:
\int_{0}^{\pi} d\theta = \pi, \qquad \int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\, d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/2}= -\cos\frac{\pi}{2} + \cos 0 = 0+1 = 1.

Passo 6

Fica então restante a integral radial
\int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{3}}\, dr.
Fazemos a substituição direta u = r^{3}. A derivada é du = 3r^{2}\,dr, logo r^{2}\,dr = \dfrac{du}{3}. Quando r vai de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} r^{2} e^{r^{3}}\, dr = \int_{u=0}^{1} e^{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} e^{u}\,du = \frac{1}{3}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}(e-1).

Passo 7

Multiplicando as contribuições angulares e a radial obtemos o valor final da integral:
\pi \times 1 \times \frac{1}{3}(e-1) = \frac{\pi}{3}\bigl(e-1\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{3}\bigl(e-1\bigr)

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