Calcule:
\iiint_{B} \sqrt{x+y} \sqrt[3]{x+2 y-z} d x d y d z,onde B é a região
1 \leqslant x+y \leqslant 2, \quad 0 \leqslant x+2 y-z \leqslant 1 \quad \text { e } \quad 0 \leqslant z \leqslant 1 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A integral a calcular é a integral tripla
\iiint_{B} \sqrt{x+y}\,\sqrt[3]{x+2y-z}\,dx\,dy\,dz.
  • A região B é dada pelas desigualdades (estas são as informações do enunciado):
1 \leqslant x+y \leqslant 2,\qquad 0 \leqslant x+2y-z \leqslant 1,\qquad 0 \leqslant z \leqslant 1.
O enunciado pede que se calcule o valor numérico dessa integral sobre B.

Passo 2

Observação estratégica: as expressões que aparecem no integrando são exatamente x+y e x+2y-z. Isso sugere fazer uma mudança de variáveis que torne essas expressões variáveis coordenadas novas. Assim, definimos as variáveis
u = x+y,\qquad v = x+2y-z,\qquad w = z.
Com essa escolha o integrando ficará simples em função de u e v, e as desigualdades que definem B passam a ser limites simples em u,v,w.

Passo 3

Calcular o inverso da transformação (x,y,z)\mapsto(u,v,w), isto é, escrever x,y,z em função de u,v,w.
Temos as equações
u = x+y,\qquad v = x+2y-w,\qquad w = z.
Subtraindo u de v obtemos
v-u = (x+2y-w)-(x+y)=y-w \quad\Rightarrow\quad y = v-u+w.
Então
x = u - y = u - (v-u+w) = 2u - v - w.
E por definição
z = w.
Portanto o inverso é
x = 2u - v - w,\qquad y = v - u + w,\qquad z = w.

Passo 4

Calcular o jacobiano da mudança de variáveis. Precisamos de
J = \left|\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|.
A matriz das derivadas parciais é
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1\\[4pt] -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz pode ser calculado expandindo pela terceira linha (ou observando bloco triangular):
\det = 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot(2\cdot1 - (-1)\cdot(-1)) = 2-1=1.
Portanto
J = 1.]

Passo 5

Determinar a imagem da região B nas coordenadas (u,v,w). Usando as definições:
  • A condição 1 \leqslant x+y \leqslant 2 vira 1 \leqslant u \leqslant 2.
  • A condição 0 \leqslant x+2y-z \leqslant 1 vira 0 \leqslant v \leqslant 1.
  • A condição 0 \leqslant z \leqslant 1 vira 0 \leqslant w \leqslant 1.
Como a transformação é linear e invertível, a região B corresponde exatamente ao paralelepípedo caixa
\{(u,v,w)\mid 1\le u\le 2,\;0\le v\le 1,\;0\le w\le 1\}.

Passo 6

Escrever a integral na nova variável e separar fatores (o jacobiano vale 1). O integrando fica \sqrt{u}\,\sqrt[3]{v} e o diferencial transforma como dx\,dy\,dz = J\,du\,dv\,dw = du\,dv\,dw. Assim
\iiint_{B} \sqrt{x+y}\,\sqrt[3]{x+2y-z}\,dx\,dy\,dz = \int_{u=1}^{2}\int_{v=0}^{1}\int_{w=0}^{1} \sqrt{u}\,v^{1/3}\,dw\,dv\,du.
Como o integrando não depende de w, as integrais se separam:
\left(\int_{u=1}^{2}\sqrt{u}\,du\right)\left(\int_{v=0}^{1} v^{1/3}\,dv\right)\left(\int_{w=0}^{1} dw\right).

Passo 7

Calcular cada uma das integrais separadas, passo a passo.
  1. Para w:
\int_{w=0}^{1} dw = 1.
  1. Para v:
\int_{v=0}^{1} v^{1/3}\,dv = \left[\frac{v^{4/3}}{4/3}\right]_{0}^{1} = \frac{3}{4}.
  1. Para u:
\int_{u=1}^{2} \sqrt{u}\,du = \int_{1}^{2} u^{1/2}\,du = \left[\frac{u^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{2} = \frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).
Lembrando que 2^{3/2} = 2\sqrt{2}.

Passo 8

Multiplicar os resultados:
\iiint_{B}\cdots = \left(\frac{2}{3}\bigl(2^{3/2}-1\bigr)\right)\cdot\frac{3}{4}\cdot 1.
Simplificando os fatores \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, obtemos
\iiint_{B}\cdots = \frac{1}{2}\bigl(2^{3/2}-1\bigr) = \frac{1}{2}\bigl(2\sqrt{2}-1\bigr).

Resposta

\dfrac{2\sqrt{2}-1}{2}

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