Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite (quando existir):
Informações fornecidas:
- A variável que tende a zero é
, ou seja estamos interessados no comportamento quando . - A função no numerador é a tangente de
e no denominador é o seno de . - Não é permitida a Regra de L’Hospital (logo não vamos usá‑la).
Passo 2
Lembrete importante (fato fundamental que vamos usar): vale a identidade
Vou justificar de forma clássica e simples por desigualdades (teorema do aperto / squeeze), que é algo que dá para fazer “na prova” sem série ou L’Hospital.
Para
com
(ângulos em radianos) tem‑se geometricamente que
Dividindo essa desigualdade por
obtemos
Tomando recíprocos e lembrando que inverter inverte as desigualdades (e todos os termos são positivos), obtemos
Agora fazer
: como
, a quantidade
fica “espremida” entre algo que tende a
e
; pelo teorema do aperto segue que
Como
é uma função par (mesmo valor para
e
), a limitação à direita já garante a existência do limite bilateral, logo
Passo 3
A partir do limite anterior obtemos também que a tangente tem comportamento parecido próximo de zero. Recordando
, temos
Ao fazer
as duas parcelas têm limites conhecidos:
(Passo 2) e
. Portanto pelo produto de limites
Passo 4
Voltemos ao limite pedido. Faço uma reescrita algébrica que permite aplicar os limites já conhecidos:
Agora manipulo a segunda fração para expor o fator
:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora passo a
. Cada fator tem limite conhecido:
-
porque, fazendo a mudança de variável , isso é (Passo 3). - O fator
é constante. -
porque é o recíproco de e com (Passo 2).
Pelo produto de limites,