Questão 1. Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique por quê. Não é permitida a utilização da Regra de L’Hospital nesta prova.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(5 x)}{\operatorname{sen}(7 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite (quando existir):
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg}(5x)}{\operatorname{sen}(7x)}.
Informações fornecidas:
  • A variável que tende a zero é x, ou seja estamos interessados no comportamento quando x\to 0.
  • A função no numerador é a tangente de 5x e no denominador é o seno de 7x.
  • Não é permitida a Regra de L’Hospital (logo não vamos usá‑la).

Passo 2

Lembrete importante (fato fundamental que vamos usar): vale a identidade
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou justificar de forma clássica e simples por desigualdades (teorema do aperto / squeeze), que é algo que dá para fazer “na prova” sem série ou L’Hospital.
Para t com 0<t<\tfrac{\pi}{2} (ângulos em radianos) tem‑se geometricamente que
\sin t < t < \tan t.
Dividindo essa desigualdade por \sin t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Tomando recíprocos e lembrando que inverter inverte as desigualdades (e todos os termos são positivos), obtemos
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Agora fazer t\to 0^+: como \cos t\to 1, a quantidade \dfrac{\sin t}{t} fica “espremida” entre algo que tende a 1 e 1; pelo teorema do aperto segue que
\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
Como \dfrac{\sin t}{t} é uma função par (mesmo valor para t e -t), a limitação à direita já garante a existência do limite bilateral, logo
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 3

A partir do limite anterior obtemos também que a tangente tem comportamento parecido próximo de zero. Recordando \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t}, temos
\frac{\tan t}{t}=\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t}.
Ao fazer t\to 0 as duas parcelas têm limites conhecidos: \dfrac{\sin t}{t}\to 1 (Passo 2) e \cos t\to 1. Portanto pelo produto de limites
\lim_{t\to 0}\frac{\tan t}{t}=1\cdot\frac{1}{1}=1.

Passo 4

Voltemos ao limite pedido. Faço uma reescrita algébrica que permite aplicar os limites já conhecidos:
\frac{\operatorname{tg}(5x)}{\operatorname{sen}(7x)}=\frac{\tan(5x)}{\sin(7x)} =\frac{\tan(5x)}{5x}\cdot\frac{5x}{\sin(7x)}.
Agora manipulo a segunda fração para expor o fator \dfrac{7x}{\sin(7x)}:
\frac{5x}{\sin(7x)}=\frac{5x}{7x}\cdot\frac{7x}{\sin(7x)}=\frac{5}{7}\cdot\frac{7x}{\sin(7x)}.
Substituindo de volta:
\frac{\tan(5x)}{\sin(7x)}=\frac{\tan(5x)}{5x}\cdot\frac{5}{7}\cdot\frac{7x}{\sin(7x)}.

Passo 5

Agora passo a x\to 0. Cada fator tem limite conhecido:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\tan(5x)}{5x}=1 porque, fazendo a mudança de variável t=5x, isso é \lim_{t\to 0}\dfrac{\tan t}{t}=1 (Passo 3).
  • O fator \dfrac{5}{7} é constante.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{7x}{\sin(7x)}=1 porque é o recíproco de \dfrac{\sin(7x)}{7x} e \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 com u=7x (Passo 2).
Pelo produto de limites,
\lim_{x\to 0}\frac{\tan(5x)}{\sin(7x)}=1\cdot\frac{5}{7}\cdot 1=\frac{5}{7}.

Resposta

\dfrac{5}{7}

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