Calcular a integral
, onde
é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto
a
.
Passo 1
O exercício pede para calcular
entre
e
. O conteúdo é integral de linha de campo vetorial conservativo, e vamos precisar verificar se
é gradiente de alguma função potencial e então usar
.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais cruzadas para checar se
é conservativo. Escrevendo
com
verificamos
Como todas coincidem, o campo é conservativo.
Passo 3
Para encontrar a função potencial
de modo que
, integramos
em relação a
:
Em seguida usamos
, ou seja
de onde
Por fim aplicamos
:
implicando
. Podemos tomar
. Logo
Passo 4
A integral de linha é a diferença da potencial entre
e
:
Portanto
Resposta
e^2-3