Calcular a integral integralC f cdot d r, onde f é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A(1,1,0) a B(1,2,-1).
f=(e^x+e^z^z) i+(e^y+z) j+
(2 x z e^z^2+y) k

Passo 1

O exercício pede para calcular integralCvec fcdot dvec r entre A(1,1,0) e B(1,2,-1). O conteúdo é integral de linha de campo vetorial conservativo, e vamos precisar verificar se vec f é gradiente de alguma função potencial e então usar phi(B)-phi(A).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais cruzadas para checar se vec f é conservativo. Escrevendo vec f=(f1,f2,f3) com
f1=e^x+e^z^2, f2=e^y+z, f3=2xz e^z^2+y,
verificamos
partial f1partial y=0=partial f2partial x,
partial f1partial z=2z e^z^2=partial f3partial x,
partial f2partial z=1=partial f3partial y
Como todas coincidem, o campo é conservativo.

Passo 3

Para encontrar a função potencial phi(x,y,z) de modo que nablaphi=vec f, integramos f1 em relação a x:
phi(x,y,z)=integral(e^x+e^z^2),dx=e^x+x e^z^2+g(y,z)
Em seguida usamos partialphi/partial y=f2, ou seja
partialpartial yl(e^x+x e^z^2+g(y,z)r)=gy(y,z)=e^y+z,
de onde
g(y,z)=e^y+yz+h(z)
Por fim aplicamos partialphi/partial z=f3:
partialpartial z(x e^z^2+yz+h(z))=2xz e^z^2+y+h'(z)=2xz e^z^2+y
implicando h'(z)=0. Podemos tomar h(z)=0. Logo
phi(x,y,z)=e^x+e^y+x e^z^2+yz

Passo 4

A integral de linha é a diferença da potencial entre B e A:
phi(B)=e^1+e^2+1cdot e^(-1)^2+2cdot(-1)=e+e^2+e-2=e^2+2e-2,
phi(A)=e^1+e^1+1cdot e^0^2+1cdot0=2e+1
Portanto
integralCvec fcdot dvec r=phi(B)-phi(A)=(e^2+2e-2)-(2e+1)=e^2-3

Resposta

e^2-3

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