Nos exercícios 1 a 9, usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
ointC(e^x^2 d x+(x+z) d y+(2 x-z) d z), onde C é o contorno da parte do plano x+2 y+z=4 que está no 1^circ octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Neste exercício vamos usar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha ao redor da curva C numa integral de superfície sobre a parte do plano x+2y+z=4 que está no primeiro octante. Precisamos do rotacional do campo e de parametrizar essa superfície.

Passo 2

O campo vetorial é F=(P,Q,R)=(e^x^2,,x+z,,2x-z). Aplicando a definição do rotacional
nablatimesF= l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
calculamos:
Ry=0,;Qz=1 Rightarrow (nablatimesF)1=-1,
Pz=0,;Rx=2 Rightarrow (nablatimesF)2=-2,
Qx=1,;Py=0 Rightarrow (nablatimesF)3=1
Logo nablatimesF=(-1,-2,1).

Passo 3

Parametrizamos a superfície por
z=4-x-2y,
de modo que
r(x,y)=(x,y,4-x-2y),
com a região de projeção D=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;y<=(4-x)/2. Calculamos
rx=(1,0,-1), ry=(0,1,-2)
e o produto vetorial
rxtimesry=(1,2,1)
Esse vetor dá a orientação de superfície compatível com o sentido anti-horário de C.

Passo 4

Pelo teorema de Stokes temos
ointCFcdot dr=integral duplaS(nablatimesF)cdotn,dS
Substituindo nablatimesF=(-1,-2,1) e n,dS=(1,2,1),dA, o integrando fica
(-1,-2,1)cdot(1,2,1)=-1-4+1=-4

Passo 5

A região D no plano xy é um triângulo com vértices (0,0), (4,0) e (0,2). A área desse triângulo é
4cdot22=4
Portanto a integral de superfície é
integral duplaD(-4),dA=-4times4=-16

Resposta

-16

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