Nos exercícios 1 a 9, usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
, onde
é o contorno da parte do plano
que está no
octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Neste exercício vamos usar o teorema de Stokes para transformar a integral de linha ao redor da curva
numa integral de superfície sobre a parte do plano
que está no primeiro octante. Precisamos do rotacional do campo e de parametrizar essa superfície.
Passo 2
O campo vetorial é
. Aplicando a definição do rotacional
calculamos:
Logo
.
Passo 3
Parametrizamos a superfície por
de modo que
com a região de projeção
. Calculamos
e o produto vetorial
Esse vetor dá a orientação de superfície compatível com o sentido anti-horário de
.
Passo 4
Pelo teorema de Stokes temos
Substituindo
e
, o integrando fica
Passo 5
A região
no plano
é um triângulo com vértices
,
e
. A área desse triângulo é
Portanto a integral de superfície é
Resposta
-16