Me dê a função de cada gráfico do tipo:
a) parábola,
b) esfera,
c) exponencial,
d) sela,
e) elipse,
f) paraboloide.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as funções de vários tipos de gráficos: parábola, esfera, exponencial, sela, elipse e paraboloide. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e funções matemáticas. Precisamos lembrar as equações básicas de cada um desses gráficos e entender como eles são representados no plano ou no espaço.

Passo 2

a) Parábola
Uma parábola é o gráfico de uma função quadrática. Ela tem a forma de uma curva simétrica que pode abrir para cima ou para baixo.
A equação padrão de uma parábola que abre para cima ou para baixo é:
y = ax^2 + bx + c
Onde a, b e c são constantes, e a neq 0.

Passo 3

b) Esfera
Uma esfera é um objeto tridimensional onde todos os pontos estão à mesma distância do centro.
A equação padrão de uma esfera com centro no ponto (h, k, l) e raio r é:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
Se o centro estiver na origem (0, 0, 0), a equação fica:
x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Passo 4

c) Exponencial
Uma função exponencial cresce ou decresce de forma muito rápida. O gráfico dela é uma curva que aumenta rapidamente ou diminui para zero.
A forma geral de uma função exponencial é:
f(x) = a cdot b^x
Onde:
  • a é a constante inicial,
  • b é a base da exponencial ( b > 0 e b neq 1),
  • x é a variável.
Por exemplo, f(x) = 2 cdot 3^x.

Passo 5

d) Sela
Uma superfície de sela é uma superfície tridimensional que tem curvas que se abrem em direções opostas, parecendo uma sela de cavalo.
A equação padrão de uma sela (ou superfície hiperbólica) é:
z = x^2a^2 - y^2b^2
Onde a e b são constantes que determinam a curvatura.

Passo 6

e) Elipse
Uma elipse é uma curva fechada onde a soma das distâncias de dois pontos fixos (focos) é constante.
A equação padrão de uma elipse com centro na origem e eixos alinhados com os eixos coordenados é:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Onde:
  • a é o semi-eixo maior,
  • b é o semi-eixo menor.
Se a > b, a elipse se estende mais no eixo x; se b > a, se estende mais no eixo y.

Passo 7

f) Paraboloide
Um paraboloide é uma superfície tridimensional gerada pela rotação de uma parábola ao redor de seu eixo. Pode ser paraboloide elíptico ou hiperbólico.
A equação padrão de um paraboloide elíptico é:
z = ax^2 + by^2
Onde a e b são constantes que afetam a abertura da superfície.
A equação padrão de um paraboloide hiperbólico (sela) já foi mencionada no passo 5.

Resposta

Aqui estão as funções para cada tipo de gráfico solicitado:
a) Parábola:
y = ax^2 + bx + c
b) Esfera:
(x - h)^2 + (y - k)^2 + (z - l)^2 = r^2
(Centro em (h, k, l), raio r)
c) Exponencial:
f(x) = a cdot b^x
d) Sela:
z = x^2a^2 - y^2b^2
e) Elipse:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
f) Paraboloide:
z = ax^2 + by^2

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