Calcular a integral
. Considere
onde
é a parte da parábola
do ponto
para
e
o segmento de reta de
para
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente vai calcular a integral de linha
. A curva
é dividida em duas partes:
, que é uma parte da parábola
indo de
até
, e
, que é uma linha reta de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha e como parametrizar curvas. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha
pode ser calculada parametrizando a curva
em termos de um parâmetro, geralmente
, e então integrando em relação a
. Aqui,
e
.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte da curva,
, que está na parábola
de
a
. Para parametrizar
, podemos usar
como parâmetro:
Onde
varia de
a
.
Passo 4
Com essa parametrização, calculamos
e
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
,
e
na integral para
:
Passo 6
Vamos simplificar as expressões:
Passo 7
Agora, integramos termo a termo:
Passo 8
Somando todos os resultados:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
Então,
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral para
, que é a linha reta de
a
. Aqui,
é constante igual a 1. Vamos parametrizar
com
:
Onde
varia de
a
.
Passo 10
Calculamos
e
:
Passo 11
Substituímos na integral para
:
Como
, a segunda integral desaparece:
Passo 12
Integramos:
Passo 13
Agora, juntamos as integrais de
e
:
Para simplificar, podemos deixar dessa forma, já que
é um número extremamente grande e não é prático calcular exatamente sem uma calculadora avançada.
Resposta
A integral total é igual a
.