Calcular a integral integralC(y+x^100) d x+(2 x+y^100) d y. Considere C=C1 cup C2 onde C1 é a parte da parábola y=x^2 do ponto (-1,1) para (1,1) e C2 o segmento de reta de (1,1) para (4,1).

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente vai calcular a integral de linha . A curva é dividida em duas partes: , que é uma parte da parábola indo de até , e , que é uma linha reta de até . Para resolver isso, vamos precisar entender integrais de linha e como parametrizar curvas. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma integral de linha pode ser calculada parametrizando a curva em termos de um parâmetro, geralmente , e então integrando em relação a . Aqui, e .

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte da curva, x = t, y = t^2 , que está na parábola de a . Para parametrizar , podemos usar como parâmetro:
Onde varia de a .

Passo 4

Com essa parametrização, calculamos dx = dt e dy = 2t , dt :

Passo 5

Agora, substituímos integralC1 (y + x^100) dx + (2x + y^100) dy = integral-1^1 (t^2 + t^100) dt + integral-1^1 (2t + (t^2)^100) (2t) dt , , e na integral para :

Passo 6

Vamos simplificar as expressões:
integral-1^1 (t^2 + t^100) dt + integral-1^1 (2t + t^200) 2t , dt
= integral-1^1 t^2 , dt + integral-1^1 t^100 , dt + integral-1^1 4t^2 , dt + integral-1^1 2t^201 , dt

Passo 7

Agora, integramos termo a termo:
integral-1^1 t^2 , dt = [t^33]-1^1 = 13 - (-13) = 23
integral-1^1 t^100 , dt = [t^101101]-1^1 = 1101 - (-1101) = 2101
integral-1^1 4t^2 , dt = 4 cdot 23 = 83
integral-1^1 2t^201 , dt = 2 cdot [t^202202]-1^1 = 2 cdot (1202 - (-1202)) = 4202 = 2101

Passo 8

Somando todos os resultados:
23 + 2101 + 83 + 2101 = (23 + 83) + (2101 + 2101) = 103 + 4101
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
103 = 10 times 1013 times 101 = 1010303
4101 = 4 times 3101 times 3 = 12303
Então,
1010303 + 12303 = 1022303

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral para x = t, y = 1 , que é a linha reta de a . Aqui, é constante igual a 1. Vamos parametrizar com :
Onde varia de a .

Passo 10

Calculamos dx = dt e dy = 0 :

Passo 11

Substituímos na integral para integralC2 (y + x^100) dx + (2x + y^100) dy = integral1^4 (1 + t^100) dt + integral1^4 (2t + 1^100) cdot 0 , dt :
integral1^4 (1 + t^100) dt
Como , a segunda integral desaparece:

Passo 12

Integramos:
integral1^4 1 , dt + integral1^4 t^100 , dt = [t]1^4 + [t^101101]1^4
= (4 - 1) + (4^101101 - 1101) = 3 + 4^101 - 1101

Passo 13

Agora, juntamos as integrais de 1022303 + 3 + 4^101 - 1101 e :
Para simplificar, podemos deixar dessa forma, já que é um número extremamente grande e não é prático calcular exatamente sem uma calculadora avançada.

Resposta

A integral total é igual a .

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