Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças F(x, y)=lang<= e^-y-2 x,-x e^-y-sen(y)rang<= sobre quaquer curva com derivadas contínua de A=(pi, 0) até B=(0, pi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças F(x, y) = lang<= e^-y - 2x, -x e^-y - sin(y) rang<= ao se mover de um ponto A = (pi, 0) até B = (0, pi) ao longo de qualquer curva com derivadas contínuas. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e cálculo de trabalho através de potenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo de forças F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial φ(x, y) tal que F = nabla φ, onde nabla φ é o gradiente de φ.
Para campos em duas dimensões, uma condição para que F = lang<= P, Q rang<= seja conservativo é que a derivada parcial de P em relação a y seja igual à derivada parcial de Q em relação a x, ou seja:
partial Ppartial y = partial Qpartial x
Vamos verificar isso.

Passo 3

Identificamos P = e^-y - 2x e Q = -x e^-y - sin(y). Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y = -e^-y
partial Qpartial x = -e^-y
Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é conservativo. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial φ(x, y) tal que F = nabla φ.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial φ(x, y). Sabemos que:
partial φpartial x = P = e^-y - 2x
Integrando em relação a x:
φ(x, y) = integral (e^-y - 2x) dx = e^-yx - x^2 + g(y)
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Para encontrar g(y), usamos a segunda componente do gradiente:
partial φpartial y = Q = -x e^-y - sin(y)
Calculamos a derivada de φ(x, y) em relação a y:
partial φpartial y = -e^-yx + g'(y)
Igualando às duas expressões:
-e^-yx + g'(y) = -x e^-y - sin(y)
Isso simplifica para:
g'(y) = -sin(y)
Integrando em relação a y:
g(y) = cos(y) + C
Onde C é uma constante de integração. Podemos desprezar C pois será cancelado na diferença de potenciais.

Passo 6

Agora, temos a função potencial completa:
φ(x, y) = e^-yx - x^2 + cos(y)

Passo 7

O trabalho realizado pelo campo conservativo ao se mover de A para B é a diferença do potencial em B menos o potencial em A:
W = φ(B) - φ(A)
Calculamos φ em ambos os pontos.

Passo 8

Calculando φ(A) onde A = (pi, 0):
φ(pi, 0) = e^0 cdot pi - pi^2 + cos(0) = pi - pi^2 + 1
Calculando φ(B) onde B = (0, pi):
φ(0, pi) = e^-pi cdot 0 - 0^2 + cos(pi) = 0 - 0 -1 = -1

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças é W = -1 - (pi - pi^2 + 1) = pi^2 - pi - 2.

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