Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
sobre quaquer curva com derivadas contínua de
até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o trabalho realizado por um campo de forças
ao se mover de um ponto
até
ao longo de qualquer curva com derivadas contínuas. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e cálculo de trabalho através de potenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo de forças
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, onde
é o gradiente de
.
Para campos em duas dimensões, uma condição para que
seja conservativo é que a derivada parcial de
em relação a
seja igual à derivada parcial de
em relação a
, ou seja:
Vamos verificar isso.
Passo 3
Identificamos
e
. Calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo. Isso significa que podemos encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para encontrar
, usamos a segunda componente do gradiente:
Calculamos a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração. Podemos desprezar
pois será cancelado na diferença de potenciais.
Passo 6
Agora, temos a função potencial completa:
Passo 7
O trabalho realizado pelo campo conservativo ao se mover de
para
é a diferença do potencial em
menos o potencial em
:
Calculamos
em ambos os pontos.
Passo 8
Calculando
onde
:
Calculando
onde
:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças é
.