Calcule integralC f(x, y, z) d s onde f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 e C é dado pela curva r(t)=lang<=cos (t), sen(t), trang<= onde 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC f(x, y, z) , d s, onde f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2. A curva C é dada por para r(t) = lang<= cos(t), sen(t), t rang<=. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais de linha em cálculo multivariável.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar tudo em termos do parâmetro, que nesse caso é t.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função vetor r(t) em relação a t, que é r'(t). Isso nos ajuda a achar o diferencial de comprimento d s.
Derivando cada componente em relação a r(t) = lang<= cos(t), sen(t), t rang<= :

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da derivada, |r'(t)|. Isso nos dá o fator pelo qual multiplicamos para converter a integral em termos de t.
Sabemos que , então:
|r'(t)| = raiz(-sen(t))^2 + (cos(t))^2 + (1)^2 = raizsen^2(t) + cos^2(t) + 1

Passo 5

Vamos agora expressar a função f(x, y, z) em termos do parâmetro t substituindo x, y e z por cos(t), e sen(t), respectivamente:
E, novamente, usando , temos:
t

Passo 6

Agora, montamos a integral de linha substituindo tudo em termos de t:
integralC f(x, y, z) , d s = integral0^pi f(r(t)) cdot |r'(t)| , dt = integral0^pi (1 + t^2) cdot raiz2 , dt
Podemos tirar raiz2 fora da integral:
raiz2 integral0^pi (1 + t^2) , dt

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^pi (1 + t^2) , dt = [ t + t^33 ]0^pi = pi + pi^33 - (0 + 0) = pi + pi^33
Multiplicando pelo raiz2:
raiz2 ( pi + pi^33 ) = raiz2 pi (1 + pi^23 )

Resposta

A integral de linha vale raiz2 pi (1 + dfracpi^23).

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