Calcule
onde
e
é dado pela curva
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
. A curva
é dada por para
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de integrais de linha em cálculo multivariável.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma forma de somar valores de uma função ao longo de uma curva no espaço. Para isso, precisamos parametrizar a curva e expressar tudo em termos do parâmetro, que nesse caso é
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função vetor
em relação a
, que é
. Isso nos ajuda a achar o diferencial de comprimento
.
Derivando cada componente em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo da derivada,
. Isso nos dá o fator pelo qual multiplicamos para converter a integral em termos de
.
Sabemos que , então:
Passo 5
Vamos agora expressar a função
em termos do parâmetro
substituindo
,
e
por
, e
, respectivamente:
E, novamente, usando , temos:
Passo 6
Agora, montamos a integral de linha substituindo tudo em termos de
:
Podemos tirar
fora da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Multiplicando pelo
:
Resposta
A integral de linha vale
.