Calcular a integral
, onde
é a regiāo do plano
delimitada pelo círculo de centro na origem e raio 2. Sugestão: Usar coordenadas polares
e
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede calcular
onde
é o disco de centro na origem e raio
. Em notação:
- Informação importante fornecida: o integrando é
. Para a integral dupla ser uma integral real usual, precisamos que o integrando seja um número real para todos os pontos de , isto é, precisamos de para todo .
O que devo entregar: calcular (ou verificar se existe e como) a integral real
.
Passo 2
Primeiro exame rápido da possibilidade da integral existir como integral real.
-
Note que
para todo , enquanto pode ser negativo quando . Então não é imediato que seja sempre não negativo. -
Basta um contraexemplo dentro de
para mostrar que o integrando não é real em todo o disco. Tome o ponto . Esse ponto pertence a porque . -
Avaliando o argumento da raiz:
Logo
não é um número real. Portanto o integrando não é real em todo o domínio
.
Conclusão provisória: a integral como integral dupla de uma função real não está bem definida sobre todo o disco
, porque o integrando assume valores complexos em pontos de
.
Passo 3
Explico a ideia da sugestão (coordenadas polares) e como isso revela o conjunto onde a raiz é real. Mesmo que a integral sobre todo
não exista como real, é útil ver a forma em polares para entender a região onde a função é real.
- Substituição polar: definir
com
e
. No disco de raio
temos
.
- Jacobiano (fórmula que explica por que aparece um fator
na mudança): ao passar de para vale
Breve explicação do Jacobiano: as coordenadas polares comprimenram/esticam a área infinitesimal por um fator
; geometricamente um retângulo infinitesimal
corresponde a um sector com área aproximada
.
- Em coordenadas polares o argumento da raiz fica
- Portanto, quando tentamos escrever a integral em polares (formalmente),
desde que o fator dentro da raiz quadrada
seja não negativo. Multiplicando pelo Jacobiano, o integrando em
ficaria
mas isto só faz sentido real quando
Passo 4
Análise detalhada da condição de existência (onde a raiz é real) e suas consequências para a integral sobre todo
.
- A condição para o integrando ser real é
-
Separe por sinais de
: - Se
(quadrantes I e IV), então . Ao rearranjar a desigualdade obtemos
Mas o lado direito é menor ou igual a(pois e ), então a desigualdade é satisfeita para todo . Ou seja, em ângulos com a raiz é real para todos os . - Se
(quadrantes II e III), então . Ao dividir pela quantidade negativa a desigualdade inverte e obtemos
onde agora. Assim, nesses ângulos a raiz é real apenas para no intervalo . Em particular, em ângulos próximos a (onde ) o limite pode ser muito pequeno, chegando a exatamente em . Isso significa que para muitas direções com apenas uma fatia radial inicial perto da origem tem a raiz real; pontos mais distantes do centro (com grande) dão argumento negativo. - Para
(i.e. ) tem-se e a condição reduz a , que é verdadeira; assim nessas direções toda a reta radial está permitida.
- Se
-
Consequência: existe uma porção de
onde (por exemplo ao longo da borda esquerda do disco, como no ponto ). Logo a função não é uma função real definida sobre todo o disco . Assim a integral dupla real sobre todo não está bem definida.
Passo 5
Interpretação final e alternativas (para te deixar confiante sobre o que dá para fazer).
- Resultado direto: como existe pelo menos um ponto em
com (ex.: ), a expressão não é real para todo . Portanto a integral dupla real
não existe (não está definida) como integral de uma função real sobre
.
-
O que poderia ser feito se o professor quisesse alguma integral real relacionada:
- Talvez o enunciado tivesse um erro de digitação e o integrando devesse ser
ou ou . Se fosse , aí sim a integral em polares seria simples e dá um valor fechado. - Ou então pode-se interpretar a integral como integral de linha no sentido de valor absoluto ou considerar a parte real/valor absoluto, mas isso muda o problema original.
- Talvez o enunciado tivesse um erro de digitação e o integrando devesse ser
-
Conclusão direta e definitiva: não existe integral real sobre todo
conforme enunciado.
Resposta
A integral
não está definida como integral real sobre o disco
, pois existem pontos em
(por exemplo
) onde
e, portanto, o integrando não é real.