(1,5) Calcular a integral l=\iint_{R} \sqrt{x^{3}+y^{2}} d x d y, onde R é a regiāo do plano x y delimitada pelo círculo de centro na origem e raio 2. Sugestão: Usar coordenadas polares (x=r \cos (\theta) e y=r \operatorname{sen}(\theta)).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede calcular
l=\iint_{R}\sqrt{x^{3}+y^{2}}\,dx\,dy,
onde R é o disco de centro na origem e raio 2. Em notação:
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.
  • Informação importante fornecida: o integrando é f(x,y)=\sqrt{x^{3}+y^{2}}. Para a integral dupla ser uma integral real usual, precisamos que o integrando seja um número real para todos os pontos de R, isto é, precisamos de x^{3}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y)\in R.
O que devo entregar: calcular (ou verificar se existe e como) a integral real \iint_{R}\sqrt{x^{3}+y^{2}}\,dx\,dy.

Passo 2

Primeiro exame rápido da possibilidade da integral existir como integral real.
  • Note que y^{2}\ge 0 para todo y, enquanto x^{3} pode ser negativo quando x<0. Então não é imediato que x^{3}+y^{2} seja sempre não negativo.
  • Basta um contraexemplo dentro de R para mostrar que o integrando não é real em todo o disco. Tome o ponto (-2,0). Esse ponto pertence a R porque (-2)^{2}+0^{2}=4\le 4.
  • Avaliando o argumento da raiz:
(-2)^{3}+0^{2}=-8<0.
Logo \sqrt{(-2)^{3}+0^{2}}=\sqrt{-8} não é um número real. Portanto o integrando não é real em todo o domínio R.
Conclusão provisória: a integral como integral dupla de uma função real não está bem definida sobre todo o disco R, porque o integrando assume valores complexos em pontos de R.

Passo 3

Explico a ideia da sugestão (coordenadas polares) e como isso revela o conjunto onde a raiz é real. Mesmo que a integral sobre todo R não exista como real, é útil ver a forma em polares para entender a região onde a função é real.
  • Substituição polar: definir
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
com r\ge 0 e \theta\in[0,2\pi). No disco de raio 2 temos 0\le r\le 2.
  • Jacobiano (fórmula que explica por que aparece um fator r na mudança): ao passar de dx\,dy para dr\,d\theta vale
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve explicação do Jacobiano: as coordenadas polares comprimenram/esticam a área infinitesimal por um fator r; geometricamente um retângulo infinitesimal dr\times d\theta corresponde a um sector com área aproximada r\,dr\,d\theta.
  • Em coordenadas polares o argumento da raiz fica
x^{3}+y^{2}=(r\cos\theta)^{3}+(r\sin\theta)^{2} = r^{3}\cos^{3}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\bigl(r\cos^{3}\theta + \sin^{2}\theta\bigr).
  • Portanto, quando tentamos escrever a integral em polares (formalmente),
\sqrt{x^{3}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}\bigl(r\cos^{3}\theta+\sin^{2}\theta\bigr)} = r\,\sqrt{\,r\cos^{3}\theta+\sin^{2}\theta\,},
desde que o fator dentro da raiz quadrada \,r\cos^{3}\theta+\sin^{2}\theta\, seja não negativo. Multiplicando pelo Jacobiano, o integrando em dr\,d\theta ficaria
\sqrt{x^{3}+y^{2}}\,dx\,dy = r\sqrt{r\cos^{3}\theta+\sin^{2}\theta}\; \cdot r\,dr\,d\theta = r^{2}\sqrt{r\cos^{3}\theta+\sin^{2}\theta}\;dr\,d\theta,
mas isto só faz sentido real quando
r\cos^{3}\theta + \sin^{2}\theta \ge 0.

Passo 4

Análise detalhada da condição de existência (onde a raiz é real) e suas consequências para a integral sobre todo R.
  • A condição para o integrando ser real é
r\cos^{3}\theta + \sin^{2}\theta \ge 0.
  • Separe por sinais de \cos\theta:
    • Se \cos\theta>0 (quadrantes I e IV), então \cos^{3}\theta>0. Ao rearranjar a desigualdade obtemos
    r \ge -\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{3}\theta}.
    Mas o lado direito é menor ou igual a 0 (pois \sin^{2}\theta\ge 0 e \cos^{3}\theta>0), então a desigualdade é satisfeita para todo r\ge 0. Ou seja, em ângulos com \cos\theta>0 a raiz é real para todos os r\in[0,2].
    • Se \cos\theta<0 (quadrantes II e III), então \cos^{3}\theta<0. Ao dividir pela quantidade negativa a desigualdade inverte e obtemos
    r \le -\frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{3}\theta}=:t(\theta),
    onde agora t(\theta)\ge 0. Assim, nesses ângulos a raiz é real apenas para r no intervalo [0,\min(2,t(\theta))]. Em particular, em ângulos próximos a \theta=\pi (onde \cos\theta\approx -1,\,\sin\theta\approx 0) o limite t(\theta) pode ser muito pequeno, chegando a 0 exatamente em \theta=\pi. Isso significa que para muitas direções com \cos\theta<0 apenas uma fatia radial inicial perto da origem tem a raiz real; pontos mais distantes do centro (com r grande) dão argumento negativo.
    • Para \cos\theta=0 (i.e. \theta=\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}) tem-se \cos^{3}\theta=0 e a condição reduz a \sin^{2}\theta\ge 0, que é verdadeira; assim nessas direções toda a reta radial está permitida.
  • Consequência: existe uma porção de R onde x^{3}+y^{2}<0 (por exemplo ao longo da borda esquerda do disco, como no ponto (-2,0)). Logo a função (x,y)\mapsto\sqrt{x^{3}+y^{2}} não é uma função real definida sobre todo o disco R. Assim a integral dupla real sobre todo R não está bem definida.

Passo 5

Interpretação final e alternativas (para te deixar confiante sobre o que dá para fazer).
  • Resultado direto: como existe pelo menos um ponto em R com x^{3}+y^{2}<0 (ex.: (-2,0)), a expressão \sqrt{x^{3}+y^{2}} não é real para todo (x,y)\in R. Portanto a integral dupla real
\iint_{R}\sqrt{x^{3}+y^{2}}\,dx\,dy
não existe (não está definida) como integral de uma função real sobre R.
  • O que poderia ser feito se o professor quisesse alguma integral real relacionada:
    1. Talvez o enunciado tivesse um erro de digitação e o integrando devesse ser \sqrt{x^{2}+y^{2}} ou \sqrt{x^{3}+y^{4}} ou \sqrt[3]{x^{3}+y^{2}}. Se fosse \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{r^{2}}=r, aí sim a integral em polares seria simples e dá um valor fechado.
    2. Ou então pode-se interpretar a integral como integral de linha no sentido de valor absoluto ou considerar a parte real/valor absoluto, mas isso muda o problema original.
  • Conclusão direta e definitiva: não existe integral real sobre todo R conforme enunciado.

Resposta

A integral \iint_{R}\sqrt{x^{3}+y^{2}}\,dx\,dy não está definida como integral real sobre o disco R, pois existem pontos em R (por exemplo (-2,0)) onde x^{3}+y^{2}<0 e, portanto, o integrando não é real.

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