Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integral interna é em
, com limites a . - A integral externa é em
, com variando de a .
Objetivo: obter o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Estratégia (passo a passo que faremos): primeiro computar a integral interna em
, tratando
como constante (pois a integração é em
). Lembre que, ao integrar em
, termos que dependem só de
são constantes. Também cuidado com os limites: aqui o limite superior é
, e para os
do intervalo dado temos
. Isso é válido — se preferir, pode trocar os limites e introduzir um sinal negativo:
Vou proceder diretamente com os limites
a
.
Passo 3
Calcular a primitiva em
de
. Integrando termo a termo:
- Para
, usar a regra de potência: . Assim . - Para
, é constante em relação a , então .
Logo uma primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral interna usando
entre
e
:
Calcule:
Portanto a integral interna resulta em
Passo 5
Agora a integral externa vira uma integral unidimensional em
:
Integramos termo a termo. Usando a regra de potência:
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Avaliar
entre
e
:
Calcule:
Somando as frações:
logo
. Assim