(2,0) Calcule as seguintes integrais:
\int_{-1}^{0} \int_{0}^{y}\left(4 x^{3}-y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{-1}^{0}\int_{0}^{y}\left(4x^{3}-y^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A integral interna é em x, com limites x=0 a x=y.
  • A integral externa é em y, com y variando de -1 a 0.
    Objetivo: obter o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Estratégia (passo a passo que faremos): primeiro computar a integral interna em x, tratando y como constante (pois a integração é em x). Lembre que, ao integrar em x, termos que dependem só de y são constantes. Também cuidado com os limites: aqui o limite superior é x=y, e para os y do intervalo dado temos y\le 0. Isso é válido — se preferir, pode trocar os limites e introduzir um sinal negativo:
\int_{0}^{y}(\cdots)\,dx = -\int_{y}^{0}(\cdots)\,dx.
Vou proceder diretamente com os limites 0 a y.

Passo 3

Calcular a primitiva em x de 4x^{3}-y^{2}. Integrando termo a termo:
\int\left(4x^{3}-y^{2}\right)\,dx = \int 4x^{3}\,dx - \int y^{2}\,dx.
  • Para \int 4x^{3}\,dx, usar a regra de potência: \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Assim \int 4x^{3}\,dx = 4\cdot\dfrac{x^{4}}{4}=x^{4}.
  • Para \int y^{2}\,dx, y^{2} é constante em relação a x, então \int y^{2}\,dx = y^{2}x.
Logo uma primitiva é
F(x)=x^{4}-y^{2}x.

Passo 4

Avaliar a integral interna usando F entre x=0 e x=y:
\int_{0}^{y}\left(4x^{3}-y^{2}\right)\,dx = F(y)-F(0).
Calcule:
F(y)=y^{4}-y^{2}\cdot y = y^{4}-y^{3}, \qquad F(0)=0^{4}-y^{2}\cdot 0 = 0.
Portanto a integral interna resulta em
\int_{0}^{y}\left(4x^{3}-y^{2}\right)\,dx = y^{4}-y^{3}.

Passo 5

Agora a integral externa vira uma integral unidimensional em y:
\int_{-1}^{0}\bigl(y^{4}-y^{3}\bigr)\,dy.
Integramos termo a termo. Usando a regra de potência:
\int y^{4}\,dy = \frac{y^{5}}{5},\qquad \int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.
Portanto uma primitiva é
G(y)=\frac{y^{5}}{5}-\frac{y^{4}}{4}.

Passo 6

Avaliar G entre y=-1 e y=0:
\int_{-1}^{0}\bigl(y^{4}-y^{3}\bigr)\,dy = G(0)-G(-1).
Calcule:
G(0)=\frac{0^{5}}{5}-\frac{0^{4}}{4}=0.
G(-1)=\frac{(-1)^{5}}{5}-\frac{(-1)^{4}}{4} = -\frac{1}{5}-\frac{1}{4} = -\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{4}\right).
Somando as frações:
\frac{1}{5}+\frac{1}{4}=\frac{4+5}{20}=\frac{9}{20},
logo G(-1)=-\dfrac{9}{20}. Assim
G(0)-G(-1)=0- \bigl(-\tfrac{9}{20}\bigr)=\tfrac{9}{20}.

Resposta

\dfrac{9}{20}

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