Calcule
onde
é a região limitada pela esfera
e pelo cone
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região limitada pela esfera
e pelo cone
.
Informações relevantes dadas:
- A superfície esférica é
, ou seja, esfera de raio centrada na origem. - A superfície cônica é
. - A função a integrar é
.
O que é pedido:
- Calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre a região
indicada.
Passo 2
Escolha de coordenadas e definição: vamos usar coordenadas esféricas porque a região é dada por uma esfera e um cone, e a integranda depende apenas em
(o que fica muito simples em esféricas).
Definições em coordenadas esféricas (
):
onde
é a distância ao origem,
é o ângulo com o eixo
(colatitude) e
é o ângulo no plano
(azimute).
Jacobian (elemento de volume): em esféricas
A integranda
em esféricas fica simplesmente
. Então o integrando total (função vezes Jacobiano) será
.
Passo 3
Determinação dos limites de integração para a região
.
- A esfera
corresponde a . - O cone
em esféricas: . Como exceto na origem, isso dá , ou seja . Portanto
- A região dentro da esfera e limitada pelo cone corresponde à parte da esfera “acima” do cone, ou seja valores de
entre (eixo ) e (superfície do cone). Logo . - O raio
varia de até a esfera : . - O ângulo
percorre todo o círculo: .
Resumo dos limites:
Passo 4
Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites encontrados.
Aqui foi usado que
e
, resultando em
.
Passo 5
Calcular a integral por separação de variáveis (produto de integrais).
A integral se separa:
Calcule cada uma:
Agora multiplica tudo:
Simplificando a expressão:
então
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: o resultado é positivo (faz sentido, integrando uma função não negativa sobre uma região de volume positivo). A expressão está simplificada.