(1,5) Calcule
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V
onde T é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV
onde T é a região limitada pela esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 e pelo cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície esférica é \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, ou seja, esfera de raio 1 centrada na origem.
  • A superfície cônica é z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A função a integrar é x^{2}+y^{2}+z^{2}.
O que é pedido:
  • Calcular o valor numérico da integral tripla acima sobre a região T indicada.

Passo 2

Escolha de coordenadas e definição: vamos usar coordenadas esféricas porque a região é dada por uma esfera e um cone, e a integranda depende apenas em x^{2}+y^{2}+z^{2} (o que fica muito simples em esféricas).
Definições em coordenadas esféricas ( \rho,\varphi,\theta):
\begin{aligned} x &= \rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y &= \rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z &= \rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\ge0 é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo com o eixo z (colatitude) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo no plano xy (azimute).
Jacobian (elemento de volume): em esféricas
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
A integranda x^{2}+y^{2}+z^{2} em esféricas fica simplesmente \rho^{2}. Então o integrando total (função vezes Jacobiano) será \rho^{2}\cdot \rho^{2}\sin\varphi=\rho^{4}\sin\varphi.

Passo 3

Determinação dos limites de integração para a região T.
  • A esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 corresponde a \rho=1.
  • O cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} em esféricas: \rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi. Como \rho>0 exceto na origem, isso dá \cos\varphi=\sin\varphi, ou seja \tan\varphi=1. Portanto
\varphi=\frac{\pi}{4}.
  • A região dentro da esfera e limitada pelo cone corresponde à parte da esfera “acima” do cone, ou seja valores de \varphi entre 0 (eixo +z) e \pi/4 (superfície do cone). Logo \varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{4}\right].
  • O raio \rho varia de 0 até a esfera \rho=1: \rho\in[0,1].
  • O ângulo \theta percorre todo o círculo: \theta\in[0,2\pi].
Resumo dos limites:
0\le\theta\le2\pi,\qquad 0\le\varphi\le\frac{\pi}{4},\qquad 0\le\rho\le1.

Passo 4

Escrever a integral em coordenadas esféricas com os limites encontrados.
\iiint_{T}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \rho^{4}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Aqui foi usado que x^{2}+y^{2}+z^{2}=\rho^{2} e dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, resultando em \rho^{4}\sin\varphi.

Passo 5

Calcular a integral por separação de variáveis (produto de integrais).
A integral se separa:
\int_{0}^{2\pi}d\theta \cdot \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi \cdot \int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho.
Calcule cada uma:
  1. \displaystyle \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/4} = -\cos\frac{\pi}{4} -\bigl(-\cos 0\bigr) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1}\rho^{4}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Agora multiplica tudo:
2\pi\cdot\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\frac{1}{5} = \frac{2\pi}{5}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando a expressão:
1-\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2},
então
\frac{2\pi}{5}\cdot\frac{2-\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{5}\left(2-\sqrt{2}\right).

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: o resultado é positivo (faz sentido, integrando uma função não negativa sobre uma região de volume positivo). A expressão está simplificada.

Resposta

\dfrac{\pi}{5}\left(2-\sqrt{2}\right)

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