Calcular a integral de linha da curva C: \int x y d s, onde C é uma circunferência de raio 1 e 0 \leq \mathrm{t} \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\displaystyle \int_{C} x\,y\,ds
ao longo da circunferência de raio 1, com parâmetro t variando de 0 a 2\pi. O conteúdo envolve integrals de linha de funções escalares, usando parametrização de curvas em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Parametrizamos a circunferência de raio 1 por
\displaystyle \mathbf{r}(t) = (x(t),y(t)) = (\cos t,\;\sin t),
com 0\le t\le 2\pi. Assim
\int_{C} x\,y\,ds = \int_{0}^{2\pi} x(t)\,y(t)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt.

Passo 3

Calculamos a derivada
\displaystyle \mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t)
e o elemento de comprimento
\|\mathbf{r}'(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2} =1.

Passo 4

Substituindo em
\displaystyle \int_{0}^{2\pi} x(t)\,y(t)\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
obtemos
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\sin t\,dt.

Passo 5

Usamos a identidade
\displaystyle \sin(2t)=2\sin t\cos t,
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\cos t\,\sin t =\frac{1}{2}\sin(2t),
e
\int_{0}^{2\pi}\cos t\,\sin t\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2t)\,dt =\frac{1}{2}\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\Big]_{0}^{2\pi} =0.

Resposta

0

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