Seja f(x) uma função derivável em \mathbb{R}. Se F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é a função definida por
F(x)=f\left(e^{x}\right), x \in \mathbb{R},
determine F^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos diz que f é derivável em \mathbb{R} e define
F(x)=f\bigl(e^{x}\bigr),\quad x\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolvido é a regra da cadeia, pois F é composição de f com a função u(x)=e^{x}.

Passo 2

Defina a função intermediária
u(x)=e^{x}.
Então F(x)=f\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia, a derivada de F é
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).

Passo 3

Como
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x},
substituindo em F'(x) obtemos
F'(x)=f'\bigl(e^{x}\bigr)\cdot e^{x}.

Resposta

F'(x)=e^{x}\,f'\bigl(e^{x}\bigr).

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