Calcule a série de Fourier de Cossenos da função:
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0<x<\frac{1}{2} \\\\ 0, & \frac{1}{2}<x<1\end{array}\right.
a) \mathrm{a}_{0}=
b) a_{n}=

Passo 1

Temos a função definida em [0,1]\) por \[f(x)= \begin{cases} 1, & 0<x<\tfrac12,\\\\ 0, & \tfrac12<x<1. \end{cases}
Queremos a série de Fourier de cossenos em [0,1]\], que se escreve \[f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi x),\] com \[a_{0}=2\int_{0}^{1}f(x)\,dx, \qquad a_{n}=2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx.\] Como \(f(x)=1 só em [0,\tfrac12], basta integrar nesse intervalo.

Passo 2

Cálculo de a_{0}:
\int_{0}^{1}f(x)\,dx =\int_{0}^{1/2}1\,dx =\frac12.
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a_{0}=2\cdot\frac12=1.

Passo 3

Cálculo de a_{n}:
a_{n} =2\int_{0}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1/2}\cos(n\pi x)\,dx.
Fazendo a integral,
\int\cos(n\pi x)\,dx =\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x),
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a_{n} =2\left[\frac{1}{n\pi}\sin(n\pi x)\right]_{0}^{1/2} =\frac{2}{n\pi}\bigl(\sin(\tfrac{n\pi}{2})-0\bigr) =\frac{2}{n\pi}\sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr).

Resposta

a) a_{0}=1
b)
a_{n}=\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).

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