Calcular a integral de linha de f(x, y, z)=2-z sobre uma curva suave C que admite a parametrização r(t)=cos (t) i+backslash sen(t) k, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função sobre uma curva suave . A curva é parametrizada por , onde . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para funções escalares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a parametrização da curva . A função nos dá as coordenadas , (já que não há componente ), e . Isso significa que a curva está no plano e descreve um semicírculo de raio 1, já que varia de 0 a .

Passo 3

A integral de linha de uma função escalar integralC f, ds = integrala^b f(r(t)), | r'(t) |, dt ao longo de uma curva é dada por:
Onde é a derivada da parametrização em relação a , e é o módulo desse vetor.

Passo 4

Vamos calcular r'(t) = ddt [cos(t), i + sen(t), k] = -sen(t), i + cos(t), k :
Agora, calculamos o módulo de | r'(t) | = raiz(-sen(t))^2 + (cos(t))^2 = raizsen^2(t) + cos^2(t) = raiz1 = 1 :
Isso simplifica nossa integral, já que .

Passo 5

Agora, substituímos f(r(t)) = 2 - sen(t) na integral. Sabemos que integral0^pi (2 - sen(t)) cdot 1, dt = integral0^pi (2 - sen(t)), dt , e como , temos:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
integral0^pi 2, dt - integral0^pi sen(t), dt

Resposta

A integral de linha é igual a .

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