Calcular a integral de linha de sobre uma curva suave que admite a parametrização .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha da função sobre uma curva suave . A curva é parametrizada por , onde . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a integral de linha para funções escalares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a parametrização da curva . A função nos dá as coordenadas , (já que não há componente ), e . Isso significa que a curva está no plano e descreve um semicírculo de raio 1, já que varia de 0 a .
Passo 3
A integral de linha de uma função escalar ao longo de uma curva é dada por:
Onde é a derivada da parametrização em relação a , e é o módulo desse vetor.
Passo 4
Vamos calcular :
Agora, calculamos o módulo de :
Isso simplifica nossa integral, já que .
Passo 5
Agora, substituímos na integral. Sabemos que , e como , temos: