Resolva: integral duplaR e^(x^2+y^2) d A, sendo R a região delimitada por x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla , onde a região é delimitada pelas circunferências e . A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais duplas, e especificamente, vamos transformar essa integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . As equações e representam circunferências com centros na origem e raios 1 e 3, respectivamente. Então, é uma espécie de “anel” entre esses dois círculos.

Passo 3

Para simplificar a integral, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a relação entre x = r cos theta y = r sin theta , dA = r , dr , dtheta e , é dada por:
E o elemento de área em coordenadas polares é:

Passo 4

Vamos reescrever a função que estamos integrando e^x^2+y^2 = e^r^2 em termos de integral duplaR e^r^2 , r , dr , dtheta e . Como , temos:
Então, a integral dupla fica:

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para 1 <= r <= 3 e 0 <= theta <= 2pi . Como está entre as circunferências de raio 1 e 3:
E completa um círculo inteiro:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes: a integral em integral0^2pi dtheta times integral1^3 e^r^2 , r , dr e a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :
A primeira integral é bem simples, é apenas a medida de :

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em integral1^3 e^r^2 , r , dr :
12 integralu=1^u=9 e^u , du = 12 [ e^u ]1^9 = 12 (e^9 - e)
Fazendo uma substituição onde , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes da integral:
2pi times 12 (e^9 - e) = pi (e^9 - e)

Resposta

A integral dupla vale .

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