Resolva:
, sendo R a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é delimitada pelas circunferências
e
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo de integrais duplas, e especificamente, vamos transformar essa integral para coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. As equações
e
representam circunferências com centros na origem e raios 1 e 3, respectivamente. Então,
é uma espécie de “anel” entre esses dois círculos.
Passo 3
Para simplificar a integral, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, a relação entre
,
e
,
é dada por:
E o elemento de área
em coordenadas polares é:
Passo 4
Vamos reescrever a função que estamos integrando
em termos de
e
. Como
, temos:
Então, a integral dupla fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Como
está entre as circunferências de raio 1 e 3:
E
completa um círculo inteiro:
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes: a integral em
e a integral em
:
A primeira integral é bem simples, é apenas a medida de
:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em
:
Fazendo uma substituição onde
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes da integral:
Resposta
A integral dupla vale
.