Utilize a forma normal do Teorema de Green para calcular o fluxo exterior do campo de vetores F atráves da curva C.
F(x, y)=lang<= x y+y^2, x-yrang<=, onde C=C1 cup C2 sendo que C1 é o arco da parábola y=x^2 de (0,0) a (1,1) e C2 é o arco da parábola x=y^2 de (1,1) a (0,0).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior do campo de vetores vec F(x,y)=lang<= xy + y^2, x - yrang<= através da curva C composta por C1colon y=x^2 de (0,0) a (1,1) e C2colon x=y^2 de (1,1) a (0,0). O conteúdo é o Teorema de Green na forma normal, que converte fluxo de linha em integral dupla da divergência de vec F sobre a região D. Vamos precisar: (i) calcular div,vec F e (ii) descrever a região D delimitada por essas curvas.

Passo 2

Identificamos P(x,y)=xy+y^2 e Q(x,y)=x-y. A divergência de vec F é div,vec F=partial Ppartial x+partial Qpartial y. Calculando: partial Ppartial x=y e partial Qpartial y=-1, portanto div,vec F=y-1.

Passo 3

A região D é limitada pelas curvas y=x^2 (embaixo) e x=y^2 (que em função de x é y=raizx, em cima), para x variando de 0 até 1. Assim podemos parametrizar D por (x,y)mid0<= x<=1,;x^2<= y<=raizx.

Passo 4

Pela forma normal do Teorema de Green, o fluxo exterior é integral duplaDdiv,vec F,dA. Logo:
Fluxo=integral duplaD(y-1),dA=integralx=0^1integraly=x^2^raizx(y-1),dy,dx

Passo 5

Calculamos a integral interna em y:
integraly=x^2^raizx(y-1),dy=l[tfracy^22-yr]y=x^2^y=raizx=l(tfracx2-raizxr)-l(tfracx^42-x^2r)=-tfracx^42+x^2+tfracx2-raizx

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(-tfracx^42+x^2+tfracx2-raizxr),dx=-tfrac110+tfrac13+tfrac14-tfrac23=-tfrac1160

Resposta

-tfrac1160

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