Utilize a forma normal do Teorema de Green para calcular o fluxo exterior do campo de vetores F atráves da curva C.
F(x, y)=lang<= x^2+4 y, x+y^2rang<=, onde C é o quadrado limitado por x=0, x=1, y=0 e y=1.

Passo 1

A questão pede o fluxo externo de vec F(x,y)=lang<= x^2+4y,,x+y^2rang<= através da curva C que é o quadrado 0<= x<=1, 0<= y<=1. O conteúdo é o Teorema de Green na forma normal (fluxo) e vamos precisar calcular a divergência de vec F e integrá-la sobre a região.

Passo 2

Precisamos do Teorema de Green na forma do fluxo: o fluxo externo é dado por ointCvec Fcdotvec n,ds=integral duplaR(partial Ppartial x+partial Qpartial y)dA, onde P=x^2+4y e Q=x+y^2.

Passo 3

Calculamos a divergência de vec F:
partial Ppartial x=2x, partial Qpartial y=2yLongrightarrowdiv,vec F=2x+2y

Passo 4

Agora montamos o duplo integral sobre o quadrado unitário:
integral duplaR(2x+2y)dA=integral0^1integral0^1(2x+2y),dx,dy

Passo 5

Integramos primeiro em x:
integral0^1(2x+2y),dx=integral0^12x,dx+integral0^12y,dx=l[x^2r]0^1+2ycdot1=1+2y

Passo 6

Agora em y:
integral0^1(1+2y),dy=l[y+y^2r]0^1=1+1=2

Resposta

2

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