Para calcular uma integral pelo método da integração por partes, cujo integrando é o produto de quaisquer duas das funções a seguir, escolhemos u=f(x) como a primeira, conforme a sequência das letras na correspondente sigla.
L - Logarithmic functions;
I - Inverse trigonometric functions;
A - Algebraic functions (polynomials);
T - Trigonometric functions;
E - Exponential functions.
Dê um exemplo de como utilizar essa técnica?

Passo 1

Queremos calcular a integral integral x,ln x,dx usando o método de integração por partes. O conteúdo aqui é integração por partes e vamos precisar da regra LIATE para escolher u e dv.

Passo 2

Pela regra LIATE (Logarithmic, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential), ln x (L) vem antes de x (A). Logo escolhemos:
u = ln x, dv = x,dx

Passo 3

Calculamos então:
du = 1x,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
obtemos
$$
\int x\ln x,dx = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x},dx.
$$

Passo 5

Simplificando a integral restante:
integral x^22 cdot 1x,dx = integral x2,dx = 12 integral x,dx = 12 cdot x^22 = x^24
Substituindo de volta, a primitiva fica

Passo 6

Unindo tudo, a solução final é

Passo 7

Resposta

integral xln x,dx = x^22,ln x - x^24 + C

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