Dica: Utilize a identidade trigonométrica para resolver os itens abaixo: sin (p)+sin (q)=2 sin (p+q2) cos (p-q2).
Vamos agora generalizar, calculando integral sin (a x) cos (b x) d x, sendo |a| neq|b| constantes fixadas.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin(ax)cos(bx),dx onde a e b são constantes fixas com |a|neq|b|. O conteúdo envolve integração de produtos trigonométricos e vamos usar a identidade produto-soma para simplificar o integrando.

Passo 2

A identidade produto-soma relevante é
sin(alpha)cos(beta)=tfrac12l[sin(alpha+beta)+sin(alpha-beta)r]
Aqui fazemos alpha=ax e beta=bx, logo
sin(ax)cos(bx)=tfrac12l[sin((a+b)x)+sin((a-b)x)r]

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integralsin(ax)cos(bx),dx =tfrac12integralsin((a+b)x),dx +tfrac12integralsin((a-b)x),dx
Agora a integral está separada em duas integrais de senos simples.

Passo 4

Lembrando que integralsin(kx),dx=-tfrac1kcos(kx)+C, obtemos
tfrac12integralsin((a+b)x),dx=-tfrac12cdottfraccos((a+b)x)a+b,
tfrac12integralsin((a-b)x),dx=-tfrac12cdottfraccos((a-b)x)a-b

Passo 5

Juntando tudo e adicionando a constante de integração C, a resposta final é
integralsin(ax)cos(bx),dx =-tfrac12l[tfraccos((a+b)x)a+b+tfraccos((a-b)x)a-br]+C

Resposta

integralsin(ax)cos(bx),dx=-tfrac12l[tfraccos((a+b)x)a+b+tfraccos((a-b)x)a-br]+C

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