Encontre o máximo e o mínimo da função
no conjunto onde
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o máximo e o mínimo da função $ f(x, y, z) = x^{2} y z $ no conjunto onde $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $. Isso faz parte do estudo de otimização com restrições, especificamente usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar os pontos onde a função atinge seus valores extremos dentro da restrição dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são multiplicadores de Lagrange. Esse método serve para encontrar os extremos de uma função $ f(x, y, z) $ sujeita a uma restrição $ g(x, y, z) = 0 $. A ideia é que no ponto de extremo, o gradiente de $ f $ é proporcional ao gradiente de $ g $. Ou seja, existe um número $ \lambda $ tal que:
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções $ f $ e $ g $. Primeiro, a função que queremos otimizar é $ f(x, y, z) = x^{2} y z $. O gradiente de $ f $ é dado pelas derivadas parciais em relação a $ x $, $ y $ e $ z $:
Agora, a restrição é $ g(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 $. O gradiente de $ g $ é:
Passo 4
Aplicando a condição dos multiplicadores de Lagrange $ \nabla f = \lambda \nabla g $, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos simplificar as equações dividindo por 2 onde for possível:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Começamos observando a primeira equação: $ x y z = \lambda x $. Se $ x \neq 0 $, podemos dividir ambos os lados por $ x $, obtendo $ y z = \lambda $. Da segunda equação: $ \frac{x^{2} z}{2} = \lambda y $. Substituindo $ \lambda $ por $ y z $, temos:
Analogamente, da terceira equação: $ \frac{x^{2} y}{2} = \lambda z $. Substituindo $ \lambda $ por $ y z $, temos:
Passo 6
Agora temos que $ y^{2} = \frac{x^{2}}{2} $ e $ z^{2} = \frac{x^{2}}{2} $. Como a soma $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $, substituímos $ y^{2} $ e $ z^{2} $:
Então, $ y^{2} = z^{2} = \frac{1}{4} $, ou seja, $ y = \pm \frac{1}{2} $ e $ z = \pm \frac{1}{2} $.
Passo 7
Agora, precisamos considerar todas as combinações de sinais para $ y $ e $ z $ de acordo com $ y z > 0 $ já que $ \lambda = y z $. As combinações possíveis são:
- $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y = \frac{1}{2} $, $ z = \frac{1}{2} $
- $ x = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y = -\frac{1}{2} $, $ z = -\frac{1}{2} $
- $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y = \frac{1}{2} $, $ z = \frac{1}{2} $
- $ x = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y = -\frac{1}{2} $, $ z = -\frac{1}{2} $
Passo 8
Vamos calcular o valor de $ f(x, y, z) = x^{2} y z $ para cada caso:
- $ f = \left( \frac{2}{4} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $
- $ f = \left( \frac{2}{4} \right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $
- $ f = \left( \frac{2}{4} \right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $
- $ f = \left( \frac{2}{4} \right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} $
Resposta
Portanto, o máximo da função $ f(x, y, z) = x^{2} y z $ no conjunto $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ é $ \frac{1}{8} $, e o mínimo também é $ \frac{1}{8} $ nos pontos considerados.