Como podemos calcular integrais do tipo integral f(x) g^prime(x) d x ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral f(x),g'(x),dx
Esse tipo de integral é resolvido usando a técnica de integração por partes, que vem lá da regra do produto de derivadas.

Passo 2

Vamos lembrar a regra do produto: se definirmos h(x)=f(x)g(x), então
ddxl(f(x)g(x)r)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
Aqui a ideia é reconhecer que f(x)g'(x) aparece nessa expressão.

Passo 3

Agora isolamos f(x)g'(x):
f(x)g'(x)=ddxl(f(x)g(x)r)-f'(x)g(x)
Em seguida, integramos dos dois lados:

Passo 4

Usamos o teorema fundamental do cálculo para a integral da derivada:
integral f(x)g'(x),dx=integralddxl(f(x)g(x)r)dx-integral f'(x)g(x),dx=f(x)g(x)-integral f'(x)g(x),dx+C

Passo 5

Pronto! Chegamos à fórmula geral de integração por partes para esse caso.

Resposta

integral f(x),g'(x),dx=f(x),g(x)-integral f'(x),g(x),dx+C.

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