Calcular a integral por partes com o resultado incluso.
integral x e^2 x(1+2 x)^-2 d x=-x e^2 x2(1+2 x)+e^2 x4+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x e^2x(1+2x)^-2,dx
e reconhecermos que o resultado dado é
-x e^2x2(1+2x)+e^2x4+C
Vamos descobrir essa primitiva observando a derivada de uma função envolvendo e^2x dividida por (1+2x).

Passo 2

Calculemos a derivada
ddx!l(e^2x1+2xr) =(e^2x)',(1+2x)-e^2x,(1+2x)'(1+2x)^2 =2e^2x(1+2x)-2e^2x(1+2x)^2 =4x,e^2x(1+2x)^2

Passo 3

Como
ddx!l(e^2x1+2xr) =4,x,e^2x(1+2x)^-2,
seguimos que
integral x,e^2x(1+2x)^-2,dx =14,e^2x1+2x+C

Passo 4

Para exibir exatamente na forma fornecida, note que
14,e^2x1+2x =-x e^2x2(1+2x)+e^2x4,
pois multiplicando ambos os lados por 4(1+2x) verifica-se uma identidade. Assim, as duas expressões diferem apenas por uma constante de integração.

Resposta

-x e^2x2(1+2x)+e^2x4+C

Exercícios relacionados