Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Com base no campo de direções, determine o comportamento de y quando t infty. Se esse comportamento depender do valor inicial de y em t=0, descreva essa dependência.
y^prime=-1-2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = -1 - 2y
e pede (a) desenhar o campo de direções e (b), com base nele, determinar o comportamento de y(t) quando ttoinfty, indicando se isso depende da condição inicial y(0). Para isso vamos primeiro encontrar as retas de inclinação zero (pontos críticos do campo) e depois analisar o sinal de y'.

Passo 2

Para achar onde o campo de direções tem inclinação zero, resolvemos
-1 - 2y = 0
o que dá
y = -tfrac12
Essa é a reta horizontal em que as tangentes são planas (nível de inclinação zero).

Passo 3

Agora analisamos o sinal de y' em relação a essa reta:
  • Se y > -tfrac12, então -1-2y < 0, logo y'<0 e as setas do campo apontam para baixo (soluções decrescem).
  • Se y < -tfrac12, então -1-2y > 0, logo y'>0 e as setas do campo apontam para cima (soluções crescem).

Passo 4

Do passo anterior decorre que todas as soluções do campo tendem a se “acostar” na reta y=-tfrac12: acima dela descem, abaixo sobem. Portanto essa reta é uma órbita de equilíbrio estável.

Passo 5

Para confirmar, podemos resolver explicitamente a EDO. É linear com fator integrante e^2t:
ddtl(e^2tyr) = -,e^2t ;Longrightarrow; e^2ty = -tfrac12,e^2t + C ;Longrightarrow; y(t) = C,e^-2t - tfrac12
Como e^-2tto0 quando ttoinfty, y(t)to -tfrac12 para qualquer constante C (isto é, qualquer condição inicial).

Resposta

Quando ttoinfty, y(t)to -tfrac12 independentemente de y(0).

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