Desenhe um campo de direções para a equação diferencial dada. Com base no campo de direções, determine o comportamento de
quando
. Se esse comportamento depender do valor inicial de
em
, descreva essa dependência.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede (a) desenhar o campo de direções e (b), com base nele, determinar o comportamento de
quando
, indicando se isso depende da condição inicial
. Para isso vamos primeiro encontrar as retas de inclinação zero (pontos críticos do campo) e depois analisar o sinal de
.
Passo 2
Para achar onde o campo de direções tem inclinação zero, resolvemos
o que dá
Essa é a reta horizontal em que as tangentes são planas (nível de inclinação zero).
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
em relação a essa reta:
- Se
, então , logo e as setas do campo apontam para baixo (soluções decrescem). - Se
, então , logo e as setas do campo apontam para cima (soluções crescem).
Passo 4
Do passo anterior decorre que todas as soluções do campo tendem a se “acostar” na reta
: acima dela descem, abaixo sobem. Portanto essa reta é uma órbita de equilíbrio estável.
Passo 5
Para confirmar, podemos resolver explicitamente a EDO. É linear com fator integrante
:
Como
quando
,
para qualquer constante
(isto é, qualquer condição inicial).
Resposta
Quando
,
independentemente de
.