Encontre a solução geral de cada equação a seguir:
y^prime prime+9 y=cos 3 t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y'' + 9y = cos(3t)
Isso é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos dividir a solução em duas partes: a solução da homogênea e uma solução particular, usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para a parte homogênea, resolvemos
y'' + 9y = 0
A equação característica é
r^2 + 9 = 0 Longrightarrow r = pm 3i
Portanto a solução homogênea é
yh(t) = C1cos(3t) + C2sin(3t)

Passo 3

O termo forçante cos(3t) coincide com a solução da homogênea, logo há ressonância. Por isso tentamos uma solução particular da forma
yp(t) = tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r)
Calculando yp' e yp'' e substituindo em y''+9y, obtemos depois de agrupar termos:
6Bcos(3t)-6Asin(3t)=cos(3t)
Isso dá
6B=1Longrightarrow B=tfrac16, -6A=0Longrightarrow A=0
Logo
yp(t)=16,tsin(3t)

Passo 4

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1cos(3t)+C2sin(3t)+16,tsin(3t)

Resposta

y(t)=C1cos(3t)+C2sin(3t)+16,tsin(3t)

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