Resolva uma das seguintes EDOs
(a) d yd x=x^2+3 x y+y^2x y+x^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dydx = x^2 + 3xy + y^2xy + x^2
Como numerador e denominador são homogêneos de grau 2 em x,y, vamos usar a teoria de equações homogêneas de primeira ordem: fazemos a substituição
y = v x,
de modo a reduzir a EDO a separável.

Passo 2

Com y = v x, temos
dydx = v + xdvdx
Também, no lado direito,
x^2 + 3x(vx) + (vx)^2x(vx) + x^2 = 1 + 3v + v^21 + v
Assim a EDO fica
v + xdvdx = 1 + 3v + v^21 + v

Passo 3

Isolando dv/dx e simplificando:
xdvdx = 1 + 3v + v^21 + v - v = 1 + 3v + v^2 - v(1+v)1 + v = 2v + 11 + v
Portanto
dvdx = 2v + 1(1 + v),x

Passo 4

Agora separamos variáveis:
integral 1 + v2v + 1,dv = integral dxx

Passo 5

Para integrar o lado esquerdo, fazemos divisão:
1 + v2v + 1 = 12 + 1/22v + 1,
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integral 1 + v2v + 1,dv = integral l(12 + 1/22v + 1r),dv = v2 + 14lnl|2v + 1r| + C1,
e o lado direito dá
integral dxx = lnlvert xrvert + C2

Passo 6

Igualando e reunindo constantes ( C = C2-C1),
v2 + 14lnl|2v + 1r| = lnlvert xrvert + C
Multiplicando por 4 e lembrando v=y/x,
2yx + ln!l|2yx + 1r| = 4lnlvert xrvert + C' Longrightarrow 2yx + lnlvert2y + xrvert - 5lnlvert xrvert = C'

Resposta

2yx + lnlvert2y + xrvert - 5lnlvert xrvert = C

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