Seja a curva plana \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), t \in \mathbb{R}.
Definição: Uma curva regular \mathbf{r}(s) \subset \mathbb{R}^{3}, parametrizada pelo comprimento de arco s, é chamada de hélice se o vetor tangente unitário \mathbf{t}(s) faz um ângulo constante com uma direção fixa no espaço. Equivalentemente, existe um vetor fixo unitário a e uma constante \theta tais que:
\langle\mathbf{t}(s), \mathbf{a}\rangle=\cos \theta, \quad \forall s .
Além disso, uma curva regular é hélice se, e somente se, o quociente entre torção e curvatura é constante:
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\text { constante } .
(a) Mostre que a curva dada é uma hélice, identificando a direção fixa e o ângulo constante.
(b) Calcule \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| e obtenha a parametrização por comprimento de arco s.
(a) Mostrar que essa curva é uma hélice, identificando uma direção fixa \mathbf{a} e o ângulo constante \theta tal que \langle\mathbf{t}(s),\mathbf{a}\rangle=\cos\theta para todo s (ou, equivalentemente, mostrar que \tau/\kappa é constante).
(b) Calcular \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| e obter a parametrização por comprimento de arco s (ou seja, encontrar s(t) e, quando possível, a inversa t(s) e \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t(s))).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A curva está no plano \mathbb{R}^2; podemos considerá‑la embutida em \mathbb{R}^3 como \big(t^{2},t^{3},0\big).
Devemos usar a definição de hélice (ângulo constante entre vetor tangente unitário e uma direção fixa) e a equivalência com \tau/\kappa= constante.
Atenção: é importante verificar a regularidade (se \mathbf{r}'(t) anula em algum t).
Passo 2
Vou calcular as derivadas necessárias (vou embutir a curva em \mathbb{R}^3 escrevendo a componente z=0, porque a definição de hélice foi dada em \mathbb{R}^3):
\mathbf{r}(t)=\big(t^{2},t^{3},0\big).
As derivadas são
\mathbf{r}'(t)=\big(2t,\,3t^{2},\,0\big),
\mathbf{r}''(t)=\big(2,\,6t,\,0\big),
\mathbf{r}'''(t)=\big(0,\,6,\,0\big).
Observação sobre regularidade: \mathbf{r}'(0)=(0,0,0), ou seja, a curva não é regular em t=0 (há uma cúspide no ponto (0,0)). Para as propriedades que seguem posso trabalhar para t\neq 0 (a afirmação sobre hélice vale para a curva considerando os pontos regulares).
Passo 3
Vou verificar a condição direta da definição de hélice (ângulo constante entre vetor tangente unitário e uma direção fixa).
O vetor tangente unitário (antes de reparametrizar por comprimento de arco) é
Dividindo por \left|\mathbf{r}'(t)\right| (quando t\neq 0), obtemos
\langle\mathbf{t}(t),\mathbf{a}\rangle = 0.
Isto significa que o produto escalar é constante (igual a 0), logo o ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{a} é constante e igual a \theta=\pi/2. Portanto, pela definição, a curva é uma hélice (no sentido de hélice espacial) com eixo na direção \mathbf{a}=(0,0,1) e ângulo \theta=\pi/2.
Comentário intuitivo: qualquer curva contida no plano z=0 tem tangente sempre contida nesse plano, logo sempre ortogonal ao eixo z; portanto o ângulo com (0,0,1) é sempre 90^\circ. Isso resolve (a) de maneira bem direta.
Passo 4
Agora faço a verificação alternativa via curvatura \kappa e torção \tau (a equivalência dita no enunciado). Vou primeiro lembrar (e explicar) as fórmulas:
Para uma curva diferenciável em \mathbb{R}^3 com derivadas \mathbf{r}',\mathbf{r}'' não colineares, a curvatura é
portanto \tau=0 (para t\neq 0 onde o numerador e denominador fazem sentido). Assim a torção é identicamente zero, o que é coerente com a curva estar contida em um plano.
Como \tau(t)=0 e normalmente \kappa(t) não é identicamente zero (exceto em pontos singulares), o quociente
\frac{\tau(t)}{\kappa(t)} = 0
é constante. Isso confirma a equivalência: a curva é hélice (no sentido de \tau/\kappa constante) com constante igual a 0. (Isto é simplesmente outra maneira de ver que qualquer curva plana é uma hélice com eixo perpendicular ao plano.)
(isto é, s(t) é uma função ímpar de t; definir s a partir de 0 dá s(0)=0 e s cresce com |t|.)
Passo 7
Agora encontro a inversa t(s) e a parametrização \mathbf{r}(s) para a parte t\ge 0 (o caso t\le 0 é análogo com sinal trocado). Para t\ge 0, reescrevendo a fórmula:
Para s\le 0 (correspondente a t\le 0) temos a mesma expressão em termos de (27|s|+8) com o sinal apropriado em t (ou podemos escrever em forma ímpar usando \operatorname{sgn}(t) se desejar). Lembre que s=0 corresponde ao ponto singular t=0.
Resposta
(a) \mathbf{a}=(0,0,1),\quad \theta=\pi/2.
(b) \left\|\mathbf{r}'(t)\right\|=|t|\sqrt{4+9t^{2}}.\displaystyle s(t)=\frac{1}{27}\big((4+9t^{2})^{3/2}-8\big) for t\ge 0 and \displaystyle s(t)=-\frac{1}{27}\big((4+9t^{2})^{3/2}-8\big) for t\le 0.
Parametrização por arco (para s\ge 0): \displaystyle x(s)=\frac{1}{9}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big),\quad y(s)=\frac{1}{27}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big)^{3/2}.