Seja a curva plana \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}\right), t \in \mathbb{R}.
Definição: Uma curva regular \mathbf{r}(s) \subset \mathbb{R}^{3}, parametrizada pelo comprimento de arco s, é chamada de hélice se o vetor tangente unitário \mathbf{t}(s) faz um ângulo constante com uma direção fixa no espaço. Equivalentemente, existe um vetor fixo unitário a e uma constante \theta tais que:
\langle\mathbf{t}(s), \mathbf{a}\rangle=\cos \theta, \quad \forall s .
Além disso, uma curva regular é hélice se, e somente se, o quociente entre torção e curvatura é constante:
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}=\text { constante } .
(a) Mostre que a curva dada é uma hélice, identificando a direção fixa e o ângulo constante.
(b) Calcule \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| e obtenha a parametrização por comprimento de arco s.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana
\mathbf{r}(t)=\big(t^{2},t^{3}\big),\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que essa curva é uma hélice, identificando uma direção fixa \mathbf{a} e o ângulo constante \theta tal que \langle\mathbf{t}(s),\mathbf{a}\rangle=\cos\theta para todo s (ou, equivalentemente, mostrar que \tau/\kappa é constante).
  2. (b) Calcular \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right| e obter a parametrização por comprimento de arco s (ou seja, encontrar s(t) e, quando possível, a inversa t(s) e \mathbf{r}(s)=\mathbf{r}(t(s))).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A curva está no plano \mathbb{R}^2; podemos considerá‑la embutida em \mathbb{R}^3 como \big(t^{2},t^{3},0\big).
  • Devemos usar a definição de hélice (ângulo constante entre vetor tangente unitário e uma direção fixa) e a equivalência com \tau/\kappa= constante.
  • Atenção: é importante verificar a regularidade (se \mathbf{r}'(t) anula em algum t).

Passo 2

Vou calcular as derivadas necessárias (vou embutir a curva em \mathbb{R}^3 escrevendo a componente z=0, porque a definição de hélice foi dada em \mathbb{R}^3):
\mathbf{r}(t)=\big(t^{2},t^{3},0\big).
As derivadas são
\mathbf{r}'(t)=\big(2t,\,3t^{2},\,0\big),
\mathbf{r}''(t)=\big(2,\,6t,\,0\big),
\mathbf{r}'''(t)=\big(0,\,6,\,0\big).
Observação sobre regularidade: \mathbf{r}'(0)=(0,0,0), ou seja, a curva não é regular em t=0 (há uma cúspide no ponto (0,0)). Para as propriedades que seguem posso trabalhar para t\neq 0 (a afirmação sobre hélice vale para a curva considerando os pontos regulares).

Passo 3

Vou verificar a condição direta da definição de hélice (ângulo constante entre vetor tangente unitário e uma direção fixa).
O vetor tangente unitário (antes de reparametrizar por comprimento de arco) é
\mathbf{t}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left|\mathbf{r}'(t)\right|}.
Escolho o vetor fixo unitário na direção z:
\mathbf{a}=(0,0,1).
Note que, para todo t,
\langle\mathbf{r}'(t),\mathbf{a}\rangle = (2t)\cdot 0 + (3t^{2})\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0.
Dividindo por \left|\mathbf{r}'(t)\right| (quando t\neq 0), obtemos
\langle\mathbf{t}(t),\mathbf{a}\rangle = 0.
Isto significa que o produto escalar é constante (igual a 0), logo o ângulo entre \mathbf{t} e \mathbf{a} é constante e igual a \theta=\pi/2. Portanto, pela definição, a curva é uma hélice (no sentido de hélice espacial) com eixo na direção \mathbf{a}=(0,0,1) e ângulo \theta=\pi/2.
Comentário intuitivo: qualquer curva contida no plano z=0 tem tangente sempre contida nesse plano, logo sempre ortogonal ao eixo z; portanto o ângulo com (0,0,1) é sempre 90^\circ. Isso resolve (a) de maneira bem direta.

Passo 4

Agora faço a verificação alternativa via curvatura \kappa e torção \tau (a equivalência dita no enunciado). Vou primeiro lembrar (e explicar) as fórmulas:
  • Para uma curva diferenciável em \mathbb{R}^3 com derivadas \mathbf{r}',\mathbf{r}'' não colineares, a curvatura é
\kappa=\frac{\left\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right\|}{\left\|\mathbf{r}'\right\|^{3}},
onde \times é o produto vetorial e \|\cdot\| a norma. Aqui \mathbf{r}' é a velocidade e \mathbf{r}'' a aceleração.
  • A torção é
\tau=\frac{\big(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big)\cdot\mathbf{r}'''}{\left\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\right\|^{2}},
quando o denominador é não nulo. A torção mede quanto a curva sai do plano osculador; para curvas planas a torção é zero.
Calculo o produto vetorial:
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t) = \big(2t,\,3t^{2},\,0\big)\times\big(2,\,6t,\,0\big) = \big(0,\,0,\,6t^{2}\big).
Logo
\left\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\right\| = 6t^{2}.
O produto escalar com \mathbf{r}''' é
\big(\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\big)\cdot\mathbf{r}''' = (0,0,6t^{2})\cdot(0,6,0)=0,
portanto \tau=0 (para t\neq 0 onde o numerador e denominador fazem sentido). Assim a torção é identicamente zero, o que é coerente com a curva estar contida em um plano.
A curvatura fica então
\kappa(t)=\frac{6t^{2}}{\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|^{3}}.
Como \tau(t)=0 e normalmente \kappa(t) não é identicamente zero (exceto em pontos singulares), o quociente
\frac{\tau(t)}{\kappa(t)} = 0
é constante. Isso confirma a equivalência: a curva é hélice (no sentido de \tau/\kappa constante) com constante igual a 0. (Isto é simplesmente outra maneira de ver que qualquer curva plana é uma hélice com eixo perpendicular ao plano.)

Passo 5

Agora calculo explicitamente \left\|\mathbf{r}'(t)\right\| (parte (b)):
\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|=\sqrt{(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}}=\sqrt{4t^{2}+9t^{4}}.
Fatorando t^{2} dentro da raiz:
\left\|\mathbf{r}'(t)\right\|=|t|\sqrt{4+9t^{2}}.
Observação: em t=0 isto vale como 0, e é o ponto não regular já notado.

Passo 6

Agora obtenho a parametrização por comprimento de arco s. A definição do comprimento de arco a partir de t=0 é
s(t)=\int_{0}^{t}\left\|\mathbf{r}'(u)\right\|\,du=\int_{0}^{t}|u|\sqrt{4+9u^{2}}\,du.
Como o integrando envolve |u|, precisamos separar os casos t\ge 0 e t\le 0. Primeiro faço t\ge 0, onde |u|=u:
s(t)=\int_{0}^{t} u\sqrt{4+9u^{2}}\,du,\qquad t\ge 0.
Faço a substituição v=4+9u^{2}. Então dv=18u\,du, ou u\,du=\tfrac{1}{18}dv. Quando u=0, v=4; quando u=t, v=4+9t^{2}. Assim
s(t)=\frac{1}{18}\int_{v=4}^{4+9t^{2}}\sqrt{v}\,dv =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\big[v^{3/2}\big]_{4}^{4+9t^{2}} =\frac{1}{27}\Big((4+9t^{2})^{3/2}-4^{3/2}\Big).
Como 4^{3/2}=8, obtemos para t\ge 0
\boxed{\,s(t)=\frac{1}{27}\Big((4+9t^{2})^{3/2}-8\Big),\quad t\ge 0. \,}
Para t\le 0 temos |u|=-u no integrando e, procedendo de modo análogo (ou usando simetria), obtemos
\boxed{\,s(t)=-\frac{1}{27}\Big((4+9t^{2})^{3/2}-8\Big),\quad t\le 0. \,}
(isto é, s(t) é uma função ímpar de t; definir s a partir de 0 s(0)=0 e s cresce com |t|.)

Passo 7

Agora encontro a inversa t(s) e a parametrização \mathbf{r}(s) para a parte t\ge 0 (o caso t\le 0 é análogo com sinal trocado). Para t\ge 0, reescrevendo a fórmula:
(4+9t^{2})^{3/2}=27s+8.
Elevando ambos os lados a 2/3,
4+9t^{2}=(27s+8)^{2/3}.
Assim
t^{2}=\frac{(27s+8)^{2/3}-4}{9},\qquad t\ge 0\Rightarrow t=\frac{1}{3}\sqrt{(27s+8)^{2/3}-4}.
Portanto, a parametrização por comprimento de arco (para s\ge 0, correspondente a t\ge 0) é
\mathbf{r}(s)=\big(x(s),y(s)\big)
com
x(s)=t(s)^{2}=\frac{1}{9}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big),
y(s)=t(s)^{3}=\frac{1}{27}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big)^{3/2}.
Para s\le 0 (correspondente a t\le 0) temos a mesma expressão em termos de (27|s|+8) com o sinal apropriado em t (ou podemos escrever em forma ímpar usando \operatorname{sgn}(t) se desejar). Lembre que s=0 corresponde ao ponto singular t=0.

Resposta

(a) \mathbf{a}=(0,0,1),\quad \theta=\pi/2.
(b) \left\|\mathbf{r}'(t)\right\|=|t|\sqrt{4+9t^{2}}. \displaystyle s(t)=\frac{1}{27}\big((4+9t^{2})^{3/2}-8\big) for t\ge 0 and \displaystyle s(t)=-\frac{1}{27}\big((4+9t^{2})^{3/2}-8\big) for t\le 0.
Parametrização por arco (para s\ge 0): \displaystyle x(s)=\frac{1}{9}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big),\quad y(s)=\frac{1}{27}\Big((27s+8)^{2/3}-4\Big)^{3/2}.

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