Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leq x \leq 1 \\\\ 2 x, 1<x \leq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes em [0,2]\): \[f(x)= \begin{cases} x, & 0 \le x \le 1,\\\\ 2x, & 1 < x \le 2. \end{cases}
Precisamos calcular a integral definida
\int_{0}^{2}f(x)\,dx
usando a soma de integrais em cada subintervalo onde (f] tem expressão distinta.

Passo 2

Integramos em [0,1], onde f(x)=x. Temos
\int_{0}^{1}x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1^{2}}{2}-\tfrac{0^{2}}{2} =\tfrac12.

Passo 3

Integramos em (1,2], onde f(x)=2x. Tem-se
\int_{1}^{2}2x\,dx =\Bigl[x^{2}\Bigr]_{1}^{2} =2^{2}-1^{2} =4-1 =3.

Passo 4

Pela propriedade aditiva da integral,
\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}f(x)\,dx+\int_{1}^{2}f(x)\,dx =\tfrac12+3 =\tfrac{7}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{2}

Exercícios relacionados