Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência e, em caso positivo, calcular o valor da integral imprópria
onde
. Vamos usar a definição de integral imprópria no infinito e a antiderivada da função exponencial.
Passo 2
Definimos
Dessa forma, verificamos a convergência ao avaliar esse limite.
Passo 3
Calcular a integral indefinida:
é um caso padrão de exponencial. Fazendo
, obtemos
Logo,
Portanto,
Como o limite existe e é finito, a integral converge.
Resposta
A integral converge e vale
.