Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
\int_{0}^{+\infty} r e^{-r x} d x, r>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, em caso positivo, calcular o valor da integral imprópria
\int_{0}^{+\infty} r e^{-r x}\,dx,
onde r>0. Vamos usar a definição de integral imprópria no infinito e a antiderivada da função exponencial.

Passo 2

Definimos
I(r)=\int_{0}^{+\infty} r e^{-r x}\,dx =\lim_{A\to\infty}\int_{0}^{A}r e^{-r x}\,dx.
Dessa forma, verificamos a convergência ao avaliar esse limite.

Passo 3

Calcular a integral indefinida:
\int r e^{-r x}\,dx
é um caso padrão de exponencial. Fazendo u=-r x, obtemos
\int r e^{-r x}\,dx =-e^{-r x}.
Logo,
\int_{0}^{A}r e^{-r x}\,dx =\bigl[-e^{-r x}\bigr]_{0}^{A} =-e^{-r A}-\bigl(-e^{-r\cdot0}\bigr) =1-e^{-r A}.
Portanto,
I(r)=\lim_{A\to\infty}\bigl(1-e^{-r A}\bigr) =1-0=1.
Como o limite existe e é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale 1.

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