Calcular a integral das seguintes funções contínuas por partes definidas nos intervalos dados.
f(x)=\left\{\begin{array}{l}2,-3 \leq x \leq-1 \\\ |x|,-1<x \leq 1 \\\\ 2,1<x \leq 3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função contínua
f(x)= \begin{cases} 2, & -3\le x\le -1,\\\ |x|, & -1<x\le 1,\\\\ 2, & 1<x\le 3, \end{cases}
e pede o valor de \displaystyle \int_{-3}^{3}f(x)\,dx. Vamos usar integração de função por partes e a propriedade de aditividade de integrais.

Passo 2

Dividimos a integral nos três trechos onde f tem expressão distinta:
\int_{-3}^{3}f(x)\,dx =\int_{-3}^{-1}2\,dx +\int_{-1}^{1}|x|\,dx +\int_{1}^{3}2\,dx.

Passo 3

Calcular as integrais onde f(x)=2:
\int_{-3}^{-1}2\,dx =2\bigl((-1)-(-3)\bigr)=2\cdot2=4,
\int_{1}^{3}2\,dx =2\bigl(3-1\bigr)=2\cdot2=4.

Passo 4

Calcular a integral do valor absoluto usando simetria em [-1,1]:
\int_{-1}^{1}|x|\,dx =2\int_{0}^{1}x\,dx =2\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{1} =2\cdot\frac{1}{2}=1.

Passo 5

Somando as três partes:
\int_{-3}^{3}f(x)\,dx=4+1+4=9.

Resposta

9

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