Calcule as integrais abaixo:
\int_{-2}^{0} \frac{v^{2} d v}{\left(v^{3}-2\right)^{2}} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-2}^{0} \frac{v^{2}}{(v^{3}-2)^{2}}\,dv.
Aqui o conteúdo que vamos usar é substituição para integrais de funções racionais, reconhecendo que a derivada de v^{3}-2 é um múltiplo de v^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = v^{3} - 2
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du = 3\,v^{2}\,dv \quad\Longrightarrow\quad v^{2}\,dv = \frac{1}{3}\,du.
Quando v=-2, u = (-2)^{3}-2 = -8-2 = -10.
Quando v=0, u = 0^{3}-2 = -2.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{-2}^{0} \frac{v^{2}}{(v^{3}-2)^{2}}\,dv = \int_{u=-10}^{u=-2} \frac{1}{3}\,\frac{1}{u^{2}}\,du = \frac{1}{3}\int_{-10}^{-2} u^{-2}\,du.
Integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.
Então a antiderivada é
\frac{1}{3}\Bigl(-\frac{1}{u}\Bigr) = -\frac{1}{3u}.

Passo 4

Voltando a variável v e avaliando entre -2 e 0, temos
F(v) = -\frac{1}{3\,(v^{3}-2)},
então
\int_{-2}^{0}\frac{v^{2}}{(v^{3}-2)^{2}}\,dv = F(0)-F(-2) = \Bigl(-\frac{1}{3(0^{3}-2)}\Bigr) - \Bigl(-\frac{1}{3((-2)^{3}-2)}\Bigr).
Calculando cada termo:
F(0) = -\frac{1}{3(-2)} = \frac{1}{6}, \quad F(-2) = -\frac{1}{3(-10)} = \frac{1}{30}.
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\frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{5}{30} - \frac{1}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}

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