Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
\int_{0}^{+\infty} r e^{-r x} d x, r>0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência e, em caso afirmativo, calcular
\displaystyle \int_{0}^{+\infty} r\,e^{-r x}\,dx com r>0.
Vamos usar a definição de integral imprópria no infinito e antiderivar a função exponencial.

Passo 2

Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita:
\int_{0}^{+\infty} r\,e^{-r x}\,dx = \lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A} r\,e^{-r x}\,dx.

Passo 3

Calculamos uma primitiva de r\,e^{-r x}. Como
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-r x}\bigr) = -r\,e^{-r x},
uma primitiva é
\int r\,e^{-r x}\,dx = -\,e^{-r x}.

Passo 4

Avaliamo-la no intervalo [0,A] e depois tomamos o limite:
\int_{0}^{A} r\,e^{-r x}\,dx = \Bigl[-\,e^{-r x}\Bigr]_{0}^{A} = \bigl(-e^{-r A}\bigr) - \bigl(-e^{0}\bigr) = 1 - e^{-r A}.
Como r>0 implica e^{-r A}\to 0 quando A\to+\infty, concluímos que
\lim_{A\to+\infty}\int_{0}^{A} r\,e^{-r x}\,dx = 1.
Portanto a integral converge.

Resposta

A integral converge e seu valor é 1.

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