Verifique se as integrais impróprias abaixo convergem. Em caso positivo, determinar seu valor.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência e, em caso afirmativo, calcular
com
.
Vamos usar a definição de integral imprópria no infinito e antiderivar a função exponencial.
Vamos usar a definição de integral imprópria no infinito e antiderivar a função exponencial.
Passo 2
Reescrevemos a integral como limite de uma integral propriamente dita:
Passo 3
Calculamos uma primitiva de
. Como
uma primitiva é
Passo 4
Avaliamo-la no intervalo
e depois tomamos o limite:
Como
implica
quando
, concluímos que
Portanto a integral converge.
Resposta
A integral converge e seu valor é
.