15.2 O Engenheiro Ambiental Matt Matcal sabe que duas variáveis ambientais que sempre têm média zero,
e
, estão ligadas pela relação teórica
. Por isso, ele propõe calcular um índice estatístico de dependência definido por
onde
Verifique se
é um produto interno legítimo.
Passo 1
O enunciado define, para vetores
com
e
, o índice
Pede-se verificar se isso satisfaz as três propriedades de um produto interno:
- simetria,
- bilinearidade,
- positividade definida.
Passo 2
Simetria exige que
Aqui
e, em geral,
. Logo, a simetria falha.
Passo 3
Bilinearidade no primeiro argumento requer
Mas
e aparecem termos em
,
e
. Não bate com
. Portanto, falta bilinearidade.
Passo 4
Positividade definida exige que
Aqui
que pode ser negativo (por exemplo,
tem média zero e
). Logo, falha a positividade.
Resposta
Não,
não é um produto interno legítimo, pois não satisfaz simetria, nem bilinearidade, nem positividade definida.