15.2 O Engenheiro Ambiental Matt Matcal sabe que duas variáveis ambientais que sempre têm média zero, x^{\prime} e y^{\prime}, estão ligadas pela relação teórica y^{\prime}=\left(x^{\prime}\right)^{2}. Por isso, ele propõe calcular um índice estatístico de dependência definido por
\left[\boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime}\right] \equiv \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}^{\prime}\right)^{2} y_{i}^{\prime}
onde \boldsymbol{x}^{\prime}, \boldsymbol{y}^{\prime} \in \mathbb{R}^{n} \mathrm{e}
\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{\prime}=0, \quad \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{\prime}=0
Verifique se \left[x^{\prime}, y^{\prime}\right] é um produto interno legítimo.

Passo 1

O enunciado define, para vetores \boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'\in\mathbb{R}^n com \tfrac{1}{n}\sum_i x_i' =0 e \tfrac{1}{n}\sum_i y_i' =0, o índice
[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'] \equiv \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i')^2\,y_i'.
Pede-se verificar se isso satisfaz as três propriedades de um produto interno:
  1. simetria,
  2. bilinearidade,
  3. positividade definida.

Passo 2

Simetria exige que
[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'] = [\boldsymbol{y}',\boldsymbol{x}'].
Aqui
[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'] = \frac{1}{n}\sum_i (x_i')^2\,y_i', \qquad [\boldsymbol{y}',\boldsymbol{x}'] = \frac{1}{n}\sum_i (y_i')^2\,x_i',
e, em geral, (x_i')^2y_i'\neq (y_i')^2x_i'. Logo, a simetria falha.

Passo 3

Bilinearidade no primeiro argumento requer
[\alpha\,\boldsymbol{x}'+\beta\,\boldsymbol{z}',\,\boldsymbol{y}'] = \alpha\,[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'] \;+\;\beta\,[\boldsymbol{z}',\boldsymbol{y}'].
Mas
[\alpha\,\boldsymbol{x}'+\beta\,\boldsymbol{z}',\,\boldsymbol{y}'] =\frac{1}{n}\sum_i (\alpha x_i'+\beta z_i')^2\,y_i'
=\alpha^2\frac{1}{n}\sum_i (x_i')^2y_i' +2\alpha\beta\frac{1}{n}\sum_i x_i'z_i'y_i' +\beta^2\frac{1}{n}\sum_i (z_i')^2y_i',
e aparecem termos em \alpha^2, \beta^2 e \alpha\beta. Não bate com \alpha[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}']+\beta[\boldsymbol{z}',\boldsymbol{y}']. Portanto, falta bilinearidade.

Passo 4

Positividade definida exige que
[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{x}']>0 \quad\text{sempre que }\boldsymbol{x}'\neq \boldsymbol{0}.
Aqui
[\boldsymbol{x}',\boldsymbol{x}'] =\frac{1}{n}\sum_i (x_i')^2\,x_i' =\frac{1}{n}\sum_i (x_i')^3,
que pode ser negativo (por exemplo, \boldsymbol{x}'=(1,-2,1) tem média zero e \sum (x_i')^3=1-8+1=-6). Logo, falha a positividade.

Resposta

Não, [\boldsymbol{x}',\boldsymbol{y}'] não é um produto interno legítimo, pois não satisfaz simetria, nem bilinearidade, nem positividade definida.

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