Calcular a integral por substituição trigonométrica
integral0^1 raizx^2+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1raizx^2+1,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é integração de funções da forma raizx^2+a^2, e vamos usar a substituição x=tantheta.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta, raizx^2+1 = raiztan^2theta+1=sectheta
Como x varia de 0 a 1, o ângulo theta varia de 0 a pi/4.

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral0^1raizx^2+1,dx = integral0^pi/4sectheta;l(sec^2theta,dthetar) = integral0^pi/4sec^3theta,dtheta

Passo 4

Para calcular integralsec^3theta,dtheta usamos integração por partes. Seja
u = sectheta, dv = sec^2theta,dtheta,
então
du = secthetatantheta,dtheta, v = tantheta
Logo,
integralsec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integraltanthetal(secthetatanthetar),dtheta = secthetatantheta - integralsecthetatan^2theta,dtheta
Como tan^2theta=sec^2theta-1, segue
integralsec^3theta,dtheta = secthetatantheta - integrall(sec^3theta-secthetar),dtheta = secthetatantheta - integralsec^3theta,dtheta + integralsectheta,dtheta
Reagrupando,
2integralsec^3theta,dtheta = secthetatantheta + integralsectheta,dtheta = secthetatantheta + lnl|sectheta+tanthetar| + C
Portanto
integralsec^3theta,dtheta = tfrac12l(secthetatantheta + ln|sectheta+tantheta|r)+C

Passo 5

Aplicando os limites theta=0 e theta=pi/4 na primitiva:
tfrac12l(secthetatantheta + ln(sectheta+tantheta)r)|0^pi/4 =tfrac12l(sectfracpi4tantfracpi4+ln(sectfracpi4+tantfracpi4)r) -tfrac12l(sec0cdottan0+ln(sec0+tan0)r)
Como secpi4=raiz2, tanpi4=1 e em theta=0 tudo anula, resulta
tfrac12l(raiz2 + ln(raiz2+1)r)

Resposta

integral0^1raizx^2+1,dx = tfrac12l(raiz2 + ln(raiz2+1)r)

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