Calcule a integral.
integral x^2(3+4 x-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x^2l(3+4x-4x^2r)^3/2,dx
Aqui vamos usar completamento de quadrado no denominador e uma substituição para reduzir tudo a potências de 1 - u^2, que são integráveis em termos de funções elementares.

Passo 2

Completamos o quadrado em 3+4x-4x^2. Note que
3+4x-4x^2 ;=;-4l(x^2-x-tfrac34r) ;=;-4l[(x-tfrac12)^2-1r] ;=;4l[1-(x-tfrac12)^2r]
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l(3+4x-4x^2r)^3/2 = l(4[1-(x-tfrac12)^2]r)^3/2 = 8l[1-(x-tfrac12)^2r]^3/2

Passo 3

Fazemos a substituição
u = x - tfrac12, dx = du,
e x^2=(u+tfrac12)^2=u^2+u+tfrac14. A integral passa a ser
integral u^2+u+tfrac148,[1-u^2]^3/2,du = 18integralu^2(1-u^2)^3/2,du +18integralu(1-u^2)^3/2,du +132integral1(1-u^2)^3/2,du

Passo 4

Agora integramos cada termo separadamente:
  1. I2=integralu(1-u^2)^3/2,du.
    Com t=1-u^2, dt=-2u,du, obtemos
    I2=-12integral t^-3/2,dt = t^-1/2 = 1raiz1-u^2
  2. I3=integral1(1-u^2)^3/2,du.
    Sabemos que
    ddul(uraiz1-u^2r) =1(1-u^2)^3/2,
    logo
    I3=uraiz1-u^2
  3. I1=integralu^2(1-u^2)^3/2,du.
    Escrevemos u^2=(u^2-1)+1 e obtemos
    I1 =integral-l(1-u^2r)+1(1-u^2)^3/2,du =-integral(1-u^2)^-1/2,du +integral(1-u^2)^-3/2,du =- arcsin(u) + uraiz1-u^2

Passo 5

Reunindo na integral original, com os fatores tfrac18 e tfrac132, temos
F(u) =-18,arcsin(u) +532,uraiz1-u^2 +18,1raiz1-u^2 + C
Voltando a x, onde u=x-tfrac12 e raiz1-u^2=raiz3+4x-4x^22, obtemos
F(x) =-18,arcsinl(x-tfrac12r) +10x+332,raiz3+4x-4x^2 + C

Resposta

boxedF(x) =-18,arcsinl(x-tfrac12r) +10,x+332,raiz3+4x-4x^2 + C

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