Calcular a integral de superfície da função rho(x, y, z)=x y+x z sobre a supercície
K=(x, y, z) mid x+y+z=1, x >= 0, y >= 0, z >= 0
(Sugestão: Se S=(u, v) mid 0 <= u <= 1,0 <= v <= 1-u, a funçã f: S R^2 definida por f(u, v)=(u, v, 1-u-v) parametriza a superfície K.)

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O que a gente tem aqui é calcular a integral de superfície da função rho(x, y, z) = xy + xz sobre a superfície K, que é definida por x + y + z = 1 com x, y, z >= 0. Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo de Superfícies. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície K e usar a fórmula da integral de superfície. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície K. A equação x + y + z = 1 descreve um plano no espaço tridimensional. Como temos as restrições x, y, z >= 0, estamos na frente do chamado triângulo equilátero no primeiro octante.

Passo 3

A sugestão do enunciado é usar uma parametrização para facilitar a integração. Vamos definir uma função f que mapeia coordenadas u e v para pontos na superfície K:
f(u, v) = (u, v, 1 - u - v)
Aqui, u varia de 0 a 1 e v varia de 0 a 1 - u. Isso cobre todo o triângulo na superfície K.

Passo 4

Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície, ou seja, as derivadas parciais de f em relação a u e v:
fu = partial fpartial u = (1, 0, -1)
fv = partial fpartial v = (0, 1, -1)
Esses vetores nos ajudam a encontrar o elemento de área na superfície.

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes, fu times fv, que nos dá um vetor normal à superfície. Vamos fazer isso:
fu times fv = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 1 & -1 = i(0 cdot -1 - (-1) cdot 1) - j(1 cdot -1 - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 0)
= i(0 + 1) - j(-1 - 0) + k(1 - 0)
= i(1) + j(1) + k(1) = (1, 1, 1)

Passo 6

Agora, precisamos do módulo desse vetor normal para encontrar o elemento de área |fu times fv|:
|fu times fv| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

Passo 7

Vamos substituir as coordenadas x, y, z na função rho usando a parametrização f(u, v):
rho(x, y, z) = xy + xz = u cdot v + u cdot (1 - u - v) = uv + u(1 - u - v)
= uv + u - u^2 - uv = u - u^2

Passo 8

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaK rho(x, y, z) , dS = integral duplaS rho(f(u, v)) cdot |fu times fv| , du , dv
Substituindo o que encontramos:
= integral duplaS (u - u^2) cdot raiz3 , du , dv
Como raiz3 é constante, podemos tirar da integral:
= raiz3 integral duplaS (u - u^2) , du , dv

Passo 9

Vamos agora definir os limites de integração. Como u varia de 0 a 1 e, para cada u, v varia de 0 a 1 - u, a integral fica:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - u (u - u^2) , dv , du

Passo 10

Integrando em relação a v primeiro:
integral0^1 - u (u - u^2) , dv = (u - u^2) cdot v |0^1 - u = (u - u^2)(1 - u) - 0 = (u - u^2)(1 - u)
Expandindo:
= u(1 - u) - u^2(1 - u) = u - u^2 - u^2 + u^3 = u - 2u^2 + u^3

Passo 11

Agora, substituímos de volta na integral:
raiz3 integral0^1 (u - 2u^2 + u^3) , du
Vamos integrar termo a termo:
integral0^1 u , du = u^22 |0^1 = 12
integral0^1 2u^2 , du = 2 cdot u^33 |0^1 = 23
integral0^1 u^3 , du = u^44 |0^1 = 14
Então:
raiz3 ( 12 - 23 + 14 )

Passo 12

Vamos calcular o que está dentro dos parênteses:
12 - 23 + 14 = 612 - 812 + 312 = 6 - 8 + 312 = 112
Então:
raiz3 cdot 112 = raiz312

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracraiz312.

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