Calcular a integral de superfície da função sobre a supercície
(Sugestão: Se , a funçã definida por parametriza a superfície .)
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O que a gente tem aqui é calcular a integral de superfície da função sobre a superfície , que é definida por com . Isso está ligado ao conteúdo de Cálculo de Superfícies. Para resolver, vamos precisar parametrizar a superfície e usar a fórmula da integral de superfície. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . A equação descreve um plano no espaço tridimensional. Como temos as restrições , estamos na frente do chamado triângulo equilátero no primeiro octante.
Passo 3
A sugestão do enunciado é usar uma parametrização para facilitar a integração. Vamos definir uma função que mapeia coordenadas e para pontos na superfície :
Aqui, varia de 0 a 1 e varia de 0 a . Isso cobre todo o triângulo na superfície .
Passo 4
Agora, precisamos calcular os vetores tangentes à superfície, ou seja, as derivadas parciais de em relação a e :
Esses vetores nos ajudam a encontrar o elemento de área na superfície.
Passo 5
A próxima etapa é calcular o produto vetorial desses dois vetores tangentes, , que nos dá um vetor normal à superfície. Vamos fazer isso:
= i(0 + 1) - j(-1 - 0) + k(1 - 0)
= i(1) + j(1) + k(1) = (1, 1, 1)
Passo 6
Agora, precisamos do módulo desse vetor normal para encontrar o elemento de área |fu times fv|:
|fu times fv| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Passo 7
Vamos substituir as coordenadas x, y, z na função rho usando a parametrização f(u, v):
rho(x, y, z) = xy + xz = u cdot v + u cdot (1 - u - v) = uv + u(1 - u - v)
= uv + u - u^2 - uv = u - u^2
Passo 8
Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaK rho(x, y, z) , dS = integral duplaS rho(f(u, v)) cdot |fu times fv| , du , dv
Substituindo o que encontramos:
= integral duplaS (u - u^2) cdot raiz3 , du , dv
Como raiz3 é constante, podemos tirar da integral:
= raiz3 integral duplaS (u - u^2) , du , dv
Passo 9
Vamos agora definir os limites de integração. Como u varia de 0 a 1 e, para cada u, v varia de 0 a 1 - u, a integral fica:
raiz3 integral0^1 integral0^1 - u (u - u^2) , dv , du
Passo 10
Integrando em relação a v primeiro:
integral0^1 - u (u - u^2) , dv = (u - u^2) cdot v |0^1 - u = (u - u^2)(1 - u) - 0 = (u - u^2)(1 - u)