Determine todos os valores para os quais
é contínua:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para descobrir todos os valores de $ x $ onde a função $ f(x) = \frac{|x + 9|}{x + 9} $ é contínua. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como lidar com funções que envolvem valor absoluto e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Ou seja, é possível desenhá-la sem levantar o lápis do papel nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função $ f(x) = \frac{|x + 9|}{x + 9} $. O valor absoluto, representado por $ |x + 9| $, sempre dá um resultado não negativo. Isso significa que:
- Se $ x + 9 > 0 $, então $ |x + 9| = x + 9 $.
- Se $ x + 9 < 0 $, então $ |x + 9| = -(x + 9) $.
- Se $ x + 9 = 0 $, o denominador fica zero, o que não é permitido (divisão por zero não existe).
Passo 4
Vamos dividir a análise em duas partes:
-
Quando $ x + 9 > 0 $:
- Nesse caso, $ |x + 9| = x + 9 $.
- Então, $ f(x) = \frac{x + 9}{x + 9} = 1 $.
- Aqui, $ f(x) $ é simplesmente igual a 1, uma função constante, que é contínua.
-
Quando $ x + 9 < 0 $:
- Aqui, $ |x + 9| = -(x + 9) $.
- Então, $ f(x) = \frac{-(x + 9)}{x + 9} = -1 $.
- Novamente, $ f(x) $ é uma função constante, igual a -1, que também é contínua.
Passo 5
Agora, precisamos considerar o ponto onde $ x + 9 = 0 $, ou seja, quando $ x = -9 $. Nesse ponto, o denominador da função fica zero, o que não é permitido matematicamente. Portanto, a função $ f(x) $ não está definida em $ x = -9 $, criando um “buraco” nessa posição.
Passo 6
Resumindo, a função $ f(x) $ é contínua em todos os valores de $ x $ onde está definida, ou seja, para todo $ x $ diferente de -9. Em $ x = -9 $, a função não existe, então não há continuidade nesse ponto.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{|x + 9|}{x + 9} $ é contínua para todos os valores de $ x $ exceto $ x = -9 $.