Determinar os pontos críticos da função abaixo e seus valores críticos:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2} y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede os pontos críticos de
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+\frac{1}{x^{2}y^{2}}
no domínio x\neq0, y\neq0. Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos são onde o gradiente de f é nulo, ou seja, \nabla f=(0,0).

Passo 2

As derivadas parciais de f são
\frac{\partial f}{\partial x} =2x-\frac{2}{x^{3}y^{2}}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} =2y-\frac{2}{x^{2}y^{3}}

Passo 3

Igualando as duas derivadas a zero temos o sistema
2x-\frac{2}{x^{3}y^{2}}=0, \quad 2y-\frac{2}{x^{2}y^{3}}=0
que pode ser reescrito como
x=\frac{1}{x^{3}y^{2}}, \quad y=\frac{1}{x^{2}y^{3}}.

Passo 4

Dessas igualdades seguem
x^{4}y^{2}=1 \quad\text{e}\quad x^{2}y^{4}=1.
Dividindo a primeira pela segunda obtemos x^{2}=y^{2}. Substituindo em qualquer das duas igualdades, por exemplo em x^{4}y^{2}=1, dá
x^{6}=1
logo x^{2}=1 e, portanto, x=\pm1 e y^{2}=x^{2}=1, ou seja, y=\pm1. Como y^{2}=x^{2}, isso gera os quatro pontos (1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1).

Passo 5

Calcular o valor de f nesses pontos:
f(\pm1,\pm1) =1+1+\frac{1}{1\cdot1} =3.

Resposta

Os pontos críticos são
(1,1), (1,-1), (-1,1) e (-1,-1)
e todos têm valor crítico f=3.

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