Determinar os pontos críticos da função abaixo e seus valores críticos:
Passo 1
O enunciado pede os pontos críticos de
no domínio
,
. Para isso vamos usar o fato de que pontos críticos são onde o gradiente de
é nulo, ou seja,
.
Passo 2
As derivadas parciais de
são
Passo 3
Igualando as duas derivadas a zero temos o sistema
que pode ser reescrito como
Passo 4
Dessas igualdades seguem
Dividindo a primeira pela segunda obtemos
. Substituindo em qualquer das duas igualdades, por exemplo em
, dá
logo
e, portanto,
e
, ou seja,
. Como
, isso gera os quatro pontos
,
,
e
.
Passo 5
Calcular o valor de
nesses pontos:
Resposta
Os pontos críticos são
,
,
e
e todos têm valor crítico .
e todos têm valor crítico