Determinar e esboçar o domínio da função:
f(x, y, z)=\frac{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}+\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em que a função
f(x,y,z)=\frac{\sqrt{16 - x^2 - y^2 - z^2}}{x^2 + y^2 + z^2} \;+\;\sqrt{4 - x^2 - y^2}
está bem–definida. Para isso precisamos garantir que os radicandos sejam não negativos e que o denominador não se anule.

Passo 2

Exigimos que o argumento da primeira raiz seja não negativo:
16 - x^2 - y^2 - z^2 \ge 0.
Isso equivale a todos os pontos dentro (ou sobre) a esfera de raio 4 centrada na origem, ou seja,
x^2 + y^2 + z^2 \le 16.

Passo 3

Exigimos que o argumento da segunda raiz seja não negativo:
4 - x^2 - y^2 \ge 0.
Isso equivale ao cilindro circular reto de eixo z e raio 2, ou seja,
x^2 + y^2 \le 4,
sem restrição direta em z.

Passo 4

Exigimos que o denominador não seja zero:
x^2 + y^2 + z^2 \neq 0.
Isso só exclui o ponto (0,0,0), já que em qualquer outro ponto essa soma é positiva.

Passo 5

Juntando tudo, o domínio é a interseção do interior da esfera de raio 4 com o cilindro de raio 2, menos o ponto originá­rio. Geometricamente, é o “tubo” circular de raio 2 dentro da esfera de raio 4, com o ponto (0,0,0) removido.

Resposta

O domínio de f é
D=\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2 \le 4,\;x^2+y^2+z^2 \le 16,\;(x,y,z)\neq(0,0,0)\bigr\}.
No esboço, representa-se a região cilíndrica de raio 2 centrada no eixo z, truncada pelos planos esféricos de raio 4, e exclui-se o ponto central da esfera.

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