Calcular a integral de superfície integral dupla A cdot n d S para cada um dos casos a seguir:
A=y i+2 x j-z k e S é a superfície do plano 2 x+y=6 no primeiro octante cortado pelo plano z=4.

Passo 1

O exercício pede o fluxo integral duplaSvec Acdotvec n,dS de vec A=y,hat i+2x,hat j - z,hat k através da parte do plano 2x+y=6 no primeiro octante limitada por 0<= z<=4. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e vamos precisar parametrizar a superfície e escolher o normal orientado para fora da região.

Passo 2

Para descrever a região S, note que no primeiro octante temos x>=0,,y>=0,,0<= z<=4 e no plano 2x+y=6 podemos escrever y=6-2x com 0<= x<=3. Assim cada curva de interseção para z fixo é um segmento de x=0 a x=3.

Passo 3

Vamos usar os parâmetros x e z. Definimos
r(x,z)=(x,6-2x,z), 0<= x<=3,;0<= z<=4

Passo 4

Computamos os vetores parciais
rx=(1,-2,0), rz=(0,0,1)
O vetor normal não unitário é o produto vetorial
rxtimes rz=(-2,-1,0)
Como queremos o normal apontando para fora da região 2x+y<=6, usamos o oposto: N=-( rxtimes rz)=(2,1,0)

Passo 5

O integrando é
vec A( r)cdot N = (y,2x,-z)cdot(2,1,0)=2y+2x
Mas y=6-2x, então
2(6-2x)+2x=12-4x+2x=12-2x

Passo 6

Agora fazemos a integral dupla sobre o domínio 0<= x<=3, 0<= z<=4:
integral duplaSvec Acdotvec n,dS=integralz=0^4integralx=0^3(12-2x),dx,dz

Passo 7

Calculando primeiro em x:
integral0^3(12-2x)dx=l[12x-x^2r]0^3=36-9=27
Em seguida em z:
integral0^4 27,dz=27times4=108

Resposta

108

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