Calcular a integral de superfície
para cada um dos casos a seguir:
e
é a superfície do plano
no primeiro octante cortado pelo plano
.
Passo 1
O exercício pede o fluxo
de
através da parte do plano
no primeiro octante limitada por
. O conteúdo aqui é integral de superfície (fluxo) e vamos precisar parametrizar a superfície e escolher o normal orientado para fora da região.
Passo 2
Para descrever a região
, note que no primeiro octante temos
e no plano
podemos escrever
com
. Assim cada curva de interseção para
fixo é um segmento de
a
.
Passo 3
Vamos usar os parâmetros
e
. Definimos
Passo 4
Computamos os vetores parciais
O vetor normal não unitário é o produto vetorial
Como queremos o normal apontando para fora da região
, usamos o oposto:
Passo 5
O integrando é
Mas
Passo 6
Agora fazemos a integral dupla sobre o domínio
,
:
Passo 7
Calculando primeiro em
:
Em seguida em
Resposta
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