Leia com atenção. Justifique suas respostas.
Determine, se existirem:
lim x -3 x^3+27x+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -3x^3+27x+3. Esse é um problema de limites com forma indeterminada, e vamos precisar usar fatoração de polinômios para resolver.

Passo 2

Se na expressão x^3+27x+3 fizermos a substituição direta x=-3, o numerador fica (-3)^3+27=-27+27=0 e o denominador fica -3+3=0. Logo temos uma forma 0/0, que é indeterminada.

Passo 3

Para eliminar essa indeterminação, recorremos à fatoração de soma de cubos. Sabendo que a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2), com a=x e b=3 temos:
x^3+27 = (x+3)(x^2 -3x +9)

Passo 4

Substituindo essa fatoração na fração e cancelando o fator x+3 (válido para xneq -3), obtemos:
x^3+27x+3 = (x+3)(x^2-3x+9)x+3 = x^2 -3x +9

Passo 5

Agora que a expressão está simplificada, podemos calcular o limite simplesmente substituindo x=-3 na função contínua x^2-3x+9:
(-3)^2 -3(-3) +9 = 9 +9 +9 = 27

Resposta

27

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