E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e a superfície é definida pela equação , limitada por , , e . Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o rotacional de , que é . O rotacional nos dá uma nova função vetorial que descreve a tendência do campo de girar ao redor de um ponto.
Para calcular , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 3
Agora que temos , precisamos determinar o vetor normal à superfície .
A superfície é o plano . O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano, ou seja, .
Para facilitar a integração, vamos normalizar :
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular o produto escalar :
Vamos calcular cada termo:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o elemento de área . Como a superfície está no plano , podemos expressar em função de e :
Para calcular , usamos a fórmula:
Passo 6
Agora, montamos a integral de superfície:
Isso simplifica para a área da região de integração no plano , que é retangular com e .
Passo 7
Calculamos a integral:
Resposta
O valor da integral integral dupla (nabla times F) cdot n , dS é 2.