Calcular, sendo dotF=(x+2 y) i-3 z j+x k, phi=4 x+3 y-2 z, e S a superfície 2 x+y+2 z=6 limitada por x=0, x=1, y=0, y=2.
integral dupla(nabla times A) cdot n d S

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral de superfície integral dupla (nabla times F) cdot n , dS, onde F = (x + 2y)i - 3zj + xk e a superfície S é definida pela equação 2x + y + 2z = 6, limitada por x = 0, x = 1, y = 0 e y = 2. Para isso, vamos precisar entender conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o rotacional de F, que é nabla times F. O rotacional nos dá uma nova função vetorial que descreve a tendência do campo F de girar ao redor de um ponto.
Para calcular nabla times F, usamos a seguinte fórmula:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Vamos calcular cada componente:
partial Fzpartial y = partial xpartial y = 0
partial Fypartial z = partial (-3z)partial z = -3
partial Fxpartial z = partial (x + 2y)partial z = 0
partial Fzpartial x = partial xpartial x = 1
partial Fypartial x = partial (-3z)partial x = 0
partial Fxpartial y = partial (x + 2y)partial y = 2
Agora, substituindo na fórmula do rotacional:
nabla times F = (0 - (-3))i + (0 - 1)j + (0 - 2)k = 3i - j - 2k

Passo 3

Agora que temos nabla times F = 3i - j - 2k, precisamos determinar o vetor normal n à superfície S.
A superfície S é o plano 2x + y + 2z = 6. O vetor normal a esse plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano, ou seja, n = 2i + j + 2k.
Para facilitar a integração, vamos normalizar n:
|n| = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = raiz4 + 1 + 4 = raiz9 = 3
Então, o vetor normal unitário é:
n = n|n| = 2i + j + 2k3

Passo 4

Agora, precisamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = (3i - j - 2k) cdot (2i + j + 2k3)
Vamos calcular cada termo:
3 times 23 = 2
-1 times 13 = -13
-2 times 23 = -43
Somando tudo:
2 - 13 - 43 = 2 - 53 = 63 - 53 = 13

Passo 5

Agora, precisamos determinar o elemento de área dS. Como a superfície está no plano 2x + y + 2z = 6, podemos expressar z em função de x e y:
2x + y + 2z = 6 implies z = 6 - 2x - y2
Para calcular dS, usamos a fórmula:
dS = | n | , dx , dy = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 , dx , dy = 3 , dx , dy

Passo 6

Agora, montamos a integral de superfície:
integral dupla (nabla times F) cdot n , dS = integral dupla 13 times 3 , dx , dy = integral dupla 1 , dx , dy
Isso simplifica para a área da região de integração no plano xy, que é retangular com 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 2.

Passo 7

Calculamos a integral:
integral dupla 1 , dx , dy = integral0^1 integral0^2 1 , dy , dx = integral0^1 [y]0^2 , dx = integral0^1 2 , dx = 2x |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2

Resposta

O valor da integral integral dupla (nabla times F) cdot n , dS é 2.

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