Calcular: integral-1^2 3 t raiz5-t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral definida de $ 3t \sqrt{5 - t^{2}} $ no intervalo de 3t raiz5 - t^2 a -1. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral tem uma função composta, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que temos $ \sqrt{5 - t^{2}} $, então vamos definir:
raiz5 - t^2

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para encontrar $ du $:
u
Isso significa que:
t

Passo 4

Vamos substituir $ u $ e $ t , dt $ na integral original:
u
Substituindo $ t , dt $:
t , dt

Passo 5

Precisamos também ajustar os limites de integração para a variável $ u $. Quando $ t = -1 $:
u
Quando $ t = 2 $:
t = -1
Então, agora nossa integral fica:
u = 5 - (-1)^2 = 5 - 1 = 4

Passo 6

Perceba que os limites estão de cima para baixo. Podemos inverter os limites e trocar o sinal:
32 integral1^4 raizu , du

Passo 7

Vamos integrar $ \sqrt{u} $:
raizu

Passo 8

Aplicando isso na nossa integral:
32 [ 23 u^3/2 ]1^4 = 32 times 23 ( u^3/2 )1^4 = ( u^3/2 )1^4

Passo 9

Agora, substituímos os limites de $ u $:
u

Resposta

O valor da integral é 7.

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