Calcular:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo integral. A gente precisa calcular a integral definida de $ 3t \sqrt{5 - t^{2}} $ no intervalo de
a
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de substituição, que é muito útil quando a integral tem uma função composta, como é o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável para simplificar a expressão. Observamos que temos $ \sqrt{5 - t^{2}} $, então vamos definir:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de $ u $ em relação a $ t $ para encontrar $ du $:
Isso significa que:
Passo 4
Vamos substituir $ u $ e $ t , dt $ na integral original:
Substituindo $ t , dt $:
Passo 5
Precisamos também ajustar os limites de integração para a variável $ u $. Quando $ t = -1 $:
Quando $ t = 2 $:
Então, agora nossa integral fica:
Passo 6
Perceba que os limites estão de cima para baixo. Podemos inverter os limites e trocar o sinal:
Passo 7
Vamos integrar $ \sqrt{u} $:
Passo 8
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 9
Agora, substituímos os limites de $ u $:
Resposta
O valor da integral é 7.