Calcule: integral-pi6^pi3(-tan ) x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral definida de -tan x no intervalo de -pi6 até pi3. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como integrar a função tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral da tangente de x é conhecida. Sabemos que:
integral tan x , dx = -ln|cos x| + C
Onde C é a constante de integração. Como temos -tan x, vamos integrar essa expressão.

Passo 3

Integrando -tan x, temos:
integral -tan x , dx = -integral tan x , dx = -(-ln|cos x|) + C = ln|cos x| + C
Então, a antiderivada de -tan x é ln|cos x|.

Passo 4

Agora, vamos aplicar os limites de integração de -pi6 até pi3. Isso significa que vamos calcular:
[ ln|cos x| ]-pi6^pi3

Passo 5

Vamos substituir os limites na antiderivada:
Para x = pi3:
ln|cos pi3| = ln|12| = ln(12)
Para x = -pi6:
ln|cos (-pi6)| = ln|raiz32| = ln(raiz32)
Agora, calculamos a diferença:
ln(12) - ln(raiz32)

Passo 6

Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
ln(12 div raiz32) = ln(1raiz3) = ln(raiz33)
Isso pode ser reescrito como:
ln(1raiz3)

Passo 7

Finalmente, calculando o valor numérico:
ln(1raiz3) = -ln(raiz3) = -12ln 3
Portanto, o valor da integral é -12ln 3.

Resposta

O valor da integral é -12ln 3.

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