Calcule integral de superfície vetorial integral dupla19 F cdot n d A do campo vetorial F(x, y, z)=(x, y,-z(x^2+y^2)), na superfície de revolução S19, que pode ser parametrizado por psi(r, theta)=(r cos (theta), r sin (theta), e^-r^2), theta in[0,2 pi], r in[0,1] com vetor normal apontando para cima da superfície

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de superfície vetorial integral duplaS19Fcdot n,dA, onde o campo é F(x,y,z)=(x,y,-z(x^2+y^2)) e a superfície é dada pela parametrização psi(r,theta)=(rcostheta,,rsintheta,,e^-r^2) para rin[0,1], thetain[0,2pi], com normal apontando para cima. Vamos usar a teoria de integração de superfícies parametricamente definidas, que exige calcular psir, psitheta, o produto vetorial para obter o elemento de área orientado, e depois integrar o produto escalar com F.

Passo 2

Primeiro calculemos os vetores parciais e o vetor normal orientado para cima. Temos
psir(r,theta)=(costheta,sintheta,-2r e^-r^2) e
psitheta(r,theta)=(-rsintheta,,rcostheta,,0).
O produto vetorial dá o elemento de área orientado:
psirtimespsitheta=l(2r^2e^-r^2costheta,;2r^2e^-r^2sintheta,;rr)

Passo 3

Agora avaliamos o campo em psi(r,theta). Como x=rcostheta, y=rsintheta, z=e^-r^2,
F(psi(r,theta))=l(rcostheta,;rsintheta,;-e^-r^2,r^2r)

Passo 4

Em seguida fazemos o produto escalar F(psi)cdot(psirtimespsitheta):
Fcdot(psirtimespsitheta)=2r^3e^-r^2l(cos^2theta+sin^2thetar)-r^3e^-r^2=r^3e^-r^2

Passo 5

Finalmente, a integral de superfície fica
integral duplaS19Fcdot n,dA= integral0^2pi!integral0^1r^3e^-r^2,dr,dtheta =2piintegral0^1r^3e^-r^2,dr

Passo 6

Para calcular integral0^1r^3e^-r^2dr, fazemos a substituição u=r^2, obtendo
integral0^1r^3e^-r^2dr=tfrac12integral0^1u e^-udu=tfrac12l(1-2e^-1r)=tfrac12- e^-1

Passo 7

Multiplicando por 2pi vem
2pil(tfrac12- e^-1r)=pi-2pi e^-1

Resposta

pi-tfrac2pie

Exercícios relacionados