Calcule integral de superfície vetorial
do campo vetorial
, na superfície de revolução
, que pode ser parametrizado por
com vetor normal apontando para cima da superfície
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral de superfície vetorial
, onde o campo é
e a superfície é dada pela parametrização
para
,
, com normal apontando para cima. Vamos usar a teoria de integração de superfícies parametricamente definidas, que exige calcular
,
, o produto vetorial para obter o elemento de área orientado, e depois integrar o produto escalar com
.
Passo 2
Primeiro calculemos os vetores parciais e o vetor normal orientado para cima. Temos
e
.
O produto vetorial dá o elemento de área orientado:
O produto vetorial dá o elemento de área orientado:
Passo 3
Agora avaliamos o campo em
. Como
,
,
,
Passo 4
Em seguida fazemos o produto escalar
:
Passo 5
Finalmente, a integral de superfície fica
Passo 6
Para calcular
, fazemos a substituição
, obtendo
Passo 7
Multiplicando por
vem