Calcular:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral tripla da função $ x $ sobre a região $ B $, onde $ B $ é definida por:
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas. Vamos precisar definir os limites de integração para cada variável e integrar passo a passo.
Passo 2
Vamos começar definindo os limites de integração para cada variável:
- $ x $ varia de 0 a 1.
- Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a 1.
- Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ 1 - y $.
Então, a integral tripla fica:
Passo 3
Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro. A função a ser integrada é $ x $, que não depende de $ z $. Então, a integral em relação a $ z $ é simplesmente $ x $ multiplicado pela largura do intervalo de $ z $:
Agora, nossa integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A função a ser integrada é $ x (1 - y) $. Como $ x $ é constante em relação a $ y $, podemos fatorá-lo para fora da integral:
Calculando a integral:
Portanto:
Nossa integral agora é:
Passo 5
Finalmente, vamos integrar em relação a $ x $. A função a ser integrada é $ \frac{x}{2} $:
Resposta
O valor da integral tripla é $ \frac{1}{4} $.