Calcular:
integral triplaB x d x d y d z B=0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 0 <= z <= 1-y

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a integral tripla da função $ x $ sobre a região $ B $, onde $ B $ é definida por:
x
Isso envolve conhecimentos de cálculo integral múltiplo, especificamente integrais triplas. Vamos precisar definir os limites de integração para cada variável e integrar passo a passo.

Passo 2

Vamos começar definindo os limites de integração para cada variável:
  • $ x $ varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de $ x $, $ y $ varia de 0 a 1.
  • Para cada par $ (x, y) $, $ z $ varia de 0 a $ 1 - y $.
Então, a integral tripla fica:
x

Passo 3

Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro. A função a ser integrada é $ x $, que não depende de $ z $. Então, a integral em relação a $ z $ é simplesmente $ x $ multiplicado pela largura do intervalo de $ z $:
z
Agora, nossa integral fica:
x

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ y $. A função a ser integrada é $ x (1 - y) $. Como $ x $ é constante em relação a $ y $, podemos fatorá-lo para fora da integral:
y
Calculando a integral:
x (1 - y)
Portanto:
x
Nossa integral agora é:
y

Passo 5

Finalmente, vamos integrar em relação a $ x $. A função a ser integrada é $ \frac{x}{2} $:
x

Resposta

O valor da integral tripla é $ \frac{1}{4} $.

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