Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve funções de duas variáveis. Temos a função $ F(x, y) = 3x^{2} + y^{2} - 18x + 6y - 3xy + 27 $ e queremos encontrar seus pontos críticos, ou seja, os pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos ajudam a identificar onde a função tem inclinação zero, ou seja, os possíveis pontos críticos.
A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações $ F_x = 0 $ e $ F_y = 0 $.
Ou seja:
Vamos resolver a equação (1) para $ y $:
Passo 4
Substituindo $ y = 2x - 6 $ na equação (2):
Então, substituindo $ x = 6 $ na expressão de $ y $:
Passo 5
Portanto, temos um ponto crítico em $ (6, 6) $.
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
Calculamos o discriminante $ D $:
Como $ D > 0 $ e $ F_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico da função é $ (6, 6) $ e é um ponto de mínimo local.