Dadas as funções abaixo, determine o seu ponto crítico (máximo, mínimo ou sela) e classifique-o:
F(x, y)=3 x^2+y^2-18 x+6 y-3 x y+27

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve funções de duas variáveis. Temos a função $ F(x, y) = 3x^{2} + y^{2} - 18x + 6y - 3xy + 27 $ e queremos encontrar seus pontos críticos, ou seja, os pontos onde a função pode ter máximos, mínimos ou pontos de sela. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ F $ em relação a $ x $ e $ y $. Essas derivadas nos ajudam a identificar onde a função tem inclinação zero, ou seja, os possíveis pontos críticos.
A derivada parcial de $ F $ em relação a $ x $ é:
F
E a derivada parcial de $ F $ em relação a $ y $ é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, vamos resolver o sistema de equações $ F_x = 0 $ e $ F_y = 0 $.
Ou seja:
Fx = 0
Fy = 0
Vamos resolver a equação (1) para $ y $:
6x - 18 - 3y = 0 (1)

Passo 4

Substituindo $ y = 2x - 6 $ na equação (2):
y = 2x - 6
2(2x - 6) + 6 - 3x = 0
4x - 12 + 6 - 3x = 0
Então, substituindo $ x = 6 $ na expressão de $ y $:
x - 6 = 0 Rightarrow x = 6

Passo 5

Portanto, temos um ponto crítico em $ (6, 6) $.
Agora, vamos classificar esse ponto usando o teste da segunda derivada. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
(6, 6)
Fxx = partial^2 Fpartial x^2 = 6
Fyy = partial^2 Fpartial y^2 = 2
Calculamos o discriminante $ D $:
Fxy = partial^2 Fpartial x partial y = -3
Como $ D > 0 $ e $ F_{xx} > 0 $, isso indica que o ponto crítico é um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico da função é $ (6, 6) $ e é um ponto de mínimo local.

Exercícios relacionados